1、31.2共面向量定理如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题问题1：、可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为，三个向量可移到平面ABCD内问题2：，三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面ACC1A1内问题3：、三个向量是什么关系？提示：相等 1共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量2共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得pxayb.1空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面2向量共面不具有传递性3共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线
2、的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据向量共面的判定例1给出以下命题：用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；若存在有序实数组(x，y)使得xy，则O、P、A、B四点共面；若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面其中正确命题的序号是_思路点拨先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断精解详析错：空间中任意两个向量都是共面的；错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；正确：因为、共面，O、P
3、、A、B四点共面；错：没有强调零向量；错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量答案一点通共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内判定向量共面的主要依据是共面向量定理1下列说法正确的是_(填序号)以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；设平行六面体的三条棱是、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是；若()成立，则P点一定是线段AB的中点；在空间中，若向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共面若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面解析：不正确，正确答案：2已知三个向量a，b，c不共面，并且pabc，q2a3b5c，r7a18b
4、22c，试问向量p、q、r是否共面？解：设rxpyq，则7a18b22cx(abc)y(2a3b5c)(x2y)a(x3y)b(x5y)c，解得r3p5q.p、q、r共面.向量共面的证明例2如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.证明：与、共面思路点拨由共面向量定理，只要用、线性表示出即可精解详析()()，与、共面一点通利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x，y使向量xy成立，也就是用空间
5、向量的加、减法则及运算律，结合图形，用、表示.3如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点证明：向量，是共面向量证明：法一：(.由向量共面的充要条件知，是共面向量法二：连接A1D，BD，取A1D中点G，连结FG，BG，则有FG綊DD1，BE綊DD1，FG綊BE.四边形BEFG为平行四边形EFBG.BG平面A1BD，EF平面A1BDEF平面A1BD.同理，B1CA1D，B1C平面A1BD，都与平面A1BD平行，是共面向量4已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k (0k1)求证：与向量，共面证明： 如图，在封闭四边形MABN中，.
6、在封闭四边形MC1CN中， k，k()(1k)k，即(1k)k0，同理(1k)k0.(1k)k得(1k)k，(1k)k，故向量与向量，共面.共面向量定理的应用例3如图所示，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；(2)用向量法证明BD平面EFGH.思路点拨(1)要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x，y，使xy即可(2)要证BD平面EFGH，只需证向量与向量、共面即可精解详析(1)如图所示，连接BG，EG，则：().由共面向量定理知E，F，G，H四点共面(2)设a，b，c，则ca.(cb)
7、abc，c(ab)abc.假设存在x，y，使xy.即caxyabc.a，b，c不共线解得.、是共面向量，BD不在平面EFGH内BD平面EFGH.一点通1空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在实数对x、y，使xy.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有xyz，且xyz1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据2用共面向量定理证明线面平行的关键是：(1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个
8、不共线的向量表示直线上的向量；(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可5如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点求证：B1C平面ODC1.证明：设a，b，c，则ca，又O是B1D1的中点，所以(ba)因为D1D綊C1C，所以c，(ba)c.(ab)，假设存在实数x，y，使xy，所以caxy(ab)(xy)axcb，且a，b，c不共线，所以x1，(xy)1，且0，即x1，y1.所以，所以，是共面向量，又因为不在，所确定的平面ODC1内，所以B1C平面ODC1.6如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为PAB、P
9、BC、PCD、PDA的重心求证：E、F、G、H四点共面证明：分别延长PE、PF、PG、PH交平面四边形ABCD各边于M、N、Q、R.E、F、G、H分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R所得四边形为平行四边形，且有，.MNQR为平行四边形，()()().由共面向量定理得E、F、G、H四点共面向量e1，e2，e3共面存在三个不全为0的实数，使得e1e2e30.若e1，e2，e3是不共面的三个向量，且e1e2e30(其中，R)，则0.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在惟一的有序实数对x，y，使xy.对应课时跟踪训练(十九) 1下列结论中，正确的是_(填序
10、号)若a、b、c共面，则存在实数x，y，使axbyc；若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使axbyc；若a、b、c共面，b 、c不共线，则存在实数x、y，使axbyc.解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件所以第个命题正确但定理的应用又有一个前提：b、c是不共线向量，否则即使三个向量a、b、c共面，也不一定具有线性关系，故不正确，正确答案：2已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量确定的点P与A，B，C共面，那么_.解析：P与A，B，C共面，()()，即(1)，11.因此1.解得.答案：3如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且B
11、EBB1，DFDD1，若xyzAA1，则xyz_.解析：()x1，y1，z.xyz.答案：4i，j，k是三个不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且A、B、C、D四点共面，则的值为_解析：若A、B、C、D四点共面，则向量、共面，故存在不全为零的实数a，b，c，使得abc0.即a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0.(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k不共面，答案：15命题：若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，则点M一定在平面ABC上，且在ABC内部是_命题(填“真”或“假”)解析：()()()令BC中点为D，则，点M一定在平面ABC上
12、，且在ABC内部，故命题为真命题答案：真6已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点O满足.判断，三个向量是否共面解：(1)由已知得3，()()，即，共面7若e1，e2，e3是三个不共面的向量，试问向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面，并说明理由解：法一：令x(3e12e2e3)y(e1e23e3)z(2e1e24e3)0，亦即(3xy2z)e1(2xyz)e2(x3y4z)e30，因为e1，e2，e3是三个不共面的向量，所以解得从而a7b5c，a，b，c三个向量共面法二：令存在，使ab c成立，即3e12e2e3(e1e23e3)(2e1e24e3)，因为e1，e2，e3是三个不共面向量，所以解这个方程组得7，5，从而a7b5c，即a，b，c三向量共面8如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，AB2EF，H为BC的中点求证：FH平面EDB.证明：因为H为BC的中点，所以()()(2)因为EFAB，CD綊AB，且AB2EF，所以20，所以().又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面由于FH不在平面EDB内，所以FH平面EDB
