1、2016-2017学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）第三次月考数学试卷 （文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x22x30，B=y|y=，xR，则（RB）A=（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|1x3Dx|1x02已知复数z=，则|z|=（）AB1CD23已知命题p和命题q中有且仅有一个真命题，则下列命题中一定为假命题的是（）ApqBpqCpqDpq4设x，yR，则“xy1”是“xy”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5指数函数f（x）=（2a）x是单调函数，则a的取值范
2、围是（）A（1，2）（，1）B（1，2）C（，1）D（1，2）（，1）（1，1）6若sin（2x+）=a（|a|1），则cos（2x）的值是（）AaBaC|a|Da7已知|=1，|=2，|=，则与的夹角为（）A0BCD8一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）A +B +C +D1+9中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A7B12C17D3410等差数列an满足an1+an+an+1=3n（n2），函数f（x）=2x，则log2f（a1）f（a2）f（an）
3、的值为（）ABCD11已知函数f（x）=，若方程f（x）+xk=0，恰有两个实数根，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1Dk112函数y=2x2e|x|在2，2的图象大致为（）ABCD二、填空题13已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，则=14如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是15设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中aR，若f（）=f（），则f（5a）的值是16已知不等式+1对x，恒成立，则a的取值范围是三、解答题（共5小题，满分50分）17在ABC中，角A，
4、B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若b2+c2a2=bc，求tanB18已知向量=（2sinx，sinx），=（cosx，2sinx）（0），函数f（x）=+，直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（I）求的值； （）求函数f（x）的单调增区间；（）若f（a）=，求sin（4a+）的值19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D1E分别为BB1和CC1的中点，AF平面A1DE，其垂足F落在直线A1D上（1）求证：BCA1D； （2）若A1D=，AB=BC=3，G为AC的中点，求三棱锥GA1DB1的体
5、积20已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（I）求数列an的通项公式；（）设bn=anlog2an，其前n项和为Sn，若（n1）2m（Snn1）对于n2恒成立，求实数m的取值范围21设函数f（x）=lnx+a（1x）（）讨论：f（x）的单调性；（）当f（x）有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围选做题22已知直线C1（t为参数），C2（为参数），（）当=时，求C1与C2的交点坐标；（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线选做题23已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|
6、，g（x）=x+3（）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当x，） 时，f（x）g（x），求a的取值范围2016-2017学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）第三次月考数学试卷 （文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x22x30，B=y|y=，xR，则（RB）A=（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|1x3Dx|1x0【考点】交、并、补集的混合运算【分析】解一元二次不等式x22x30即可得出集合A，容易得出，从而可求出集合B，然后进行补集、交集的运算便可求出（RB）A【解
7、答】解：A=x|1x3；x2+11，；B=y|y1；RB=y|y1=x|x1；（RB）A=x|1x1故选A2已知复数z=，则|z|=（）AB1CD2【考点】复数求模【分析】利用复数模的运算性质即可得出【解答】解：|z|=故选：C3已知命题p和命题q中有且仅有一个真命题，则下列命题中一定为假命题的是（）ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【分析】根据命题p，q的真假，判断复合命题的真假即可【解答】解：命题p和命题q中有且仅有一个真命题，pq是假命题，故选：C4设x，yR，则“xy1”是“xy”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条
8、件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可【解答】解：由xy1，能推出xy，是充分条件，而xy推不出xy1，不是必要条件，故选：A5指数函数f（x）=（2a）x是单调函数，则a的取值范围是（）A（1，2）（，1）B（1，2）C（，1）D（1，2）（，1）（1，1）【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】根据指数函数f（x）=（2a）x在R内为增函数或为减函数，即可求出a的范围【解答】解：当指数函数f（x）=（2a）x在R内为增函数，2a1，解得a1，当指数函数f（x）=（2a）x在R内为减函数，02a1，解得1a2，综上所述a的取值范围为（，1）（1，2），故选：
9、A6若sin（2x+）=a（|a|1），则cos（2x）的值是（）AaBaC|a|Da【考点】三角函数的化简求值【分析】根据（2x+）+（2x）=，利用诱导公式进行化简即可【解答】解：sin（2x+）=a（|a|1），cos（2x）=sin（2x）=sin（+2x）=a故选：B7已知|=1，|=2，|=，则与的夹角为（）A0BCD【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据条件对两边平方即可求出，从而得出，进而便得出与的夹角【解答】解：根据条件：=5；的夹角为故选：B8一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）A +B +C +D1+【考点】由三视图求面积、体积【分
10、析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=故R=，故半球的体积为： =，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为： +，故选：C9中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A7B12C17D34【考点】程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程
11、序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C10等差数列an满足an1+an+an+1=3n（n2），函数f（x）=2x，则log2f（a1）f（a2）f（an）的值为（）ABCD【考点】数列递推式【分析】等差数列an满足an1+an+an+1=3n（n2），可得an=n，f（an）=2n再利用指数函数与对数函数的运算性质、等差数列的求和公式即可得出【解答】解：等差数列an满足an1+
12、an+an+1=3n（n2），3an=3n，即an=n函数f（x）=2x，f（an）=2n则log2f（a1）f（a2）f（an）= = =1+2+n=故选：B11已知函数f（x）=，若方程f（x）+xk=0，恰有两个实数根，则k的取值范围是（）Ak1Bk1Ck1Dk1【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】方程f（x）+xk=0，恰有两个实数根，转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合求解即可【解答】解：函数f（x）=，若方程f（x）+xk=0，恰有两个实数根，就是f（x）=x+k有两个实数根，也就是y=f（x）与y=x+k由两个不同的交点，在坐标系中画函数y=f（x）与y=kx的图象，
13、如图：由图象可知，两个函数有两个交点，k1故选：C12函数y=2x2e|x|在2，2的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案【解答】解：f（x）=y=2x2e|x|，f（x）=2（x）2e|x|=2x2e|x|，故函数为偶函数，当x=2时，y=8e2（0，1），故排除A，B； 当x0，2时，f（x）=y=2x2ex，f（x）=4xex=0有解，故函数y=2x2e|x|在0，2不是单调的，故排除C，故选：D二、填空题13已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，则=3【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意画出
14、图形，把转化为，代入后展开得答案【解答】解：如图，AB=，AD=1，=故答案为：314如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，结合离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=a=a，可得B（a，），C（a，），由BFC=90，可得kBFkCF=1，即有=1，化简为b2=3a24c2，由b2=a2c2，即有3c2=2a2，由e=，可得
15、e2=，可得e=，故答案为：15设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中aR，若f（）=f（），则f（5a）的值是【考点】分段函数的应用；周期函数【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，f（x）=，f（）=f（）=+a，f（）=f（）=|=，a=，f（5a）=f（3）=f（1）=1+=，故答案为：16已知不等式+1对x，恒成立，则a的取值范围是a【考点】三角函数的最值【分析】根据x，时sinx0，cosx0，原不等式化为a对x，恒成立；设f（x）=，
16、求出它的最大值即可【解答】解：当x，时，sinx0，cosx0；不等式+1可化为a=对x，恒成立；设f（x）=，x，令t=sinx+cosx，x，t=sin（x+）；x，x+，sin（x+），；令sinxcosx=，则y=（t）在（0，+）上是单调增函数，当t=时，ymax=（）=，a的取值范围是a故答案为：a三、解答题（共5小题，满分50分）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若b2+c2a2=bc，求tanB【考点】余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理【分析】（）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可
17、证明（）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（）的条件，求解B的正切函数值即可【解答】（）证明：在ABC中， +=，由正弦定理得：，=，sin（A+B）=sinC整理可得：sinAsinB=sinC，（）解：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=sinA=， =+=1， =，tanB=418已知向量=（2sinx，sinx），=（cosx，2sinx）（0），函数f（x）=+，直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为（I）求的值； （）求函数f（x）的单调增区间；（）若f（a）=，求sin（4a+）的值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数
18、的化简求值；正弦函数的图象【分析】（I）利用数量积化简函数的表达式，通过函数的周期求的值； （）利用正弦函数的单调增区间，即可求函数f（x）的单调增区间；（）利用已知条件，通过两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解：（）向量=（2sinx，sinx），=（cosx，2sinx）（0），函数f（x）=+，所以，直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为可得T=，=1（），可得2x，可得x（kZ ），函数的单调增区间：（kZ） （），sin（4+）=cos（4+）=1+2sin2（2）=1+=19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D1E分别为B
19、B1和CC1的中点，AF平面A1DE，其垂足F落在直线A1D上（1）求证：BCA1D； （2）若A1D=，AB=BC=3，G为AC的中点，求三棱锥GA1DB1的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BC平面AA1B1B，即可证明BCA1D； （2）利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥GA1DB1的体积【解答】（1）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，又BC平面ABC，AA1BC又AF平面A1DE，DE平面ADE，AFDE又D，E分别为BB1和CC1的中点，DEBC，AFBC而AA1AF=A，BC平面AA1B
20、1B又A1D平面AA1B1B，BCA1D （2）解：AB=BC=3，A1B1=B1C1=DE=3，则由RtA1B1DRtC1DE，知C1D=，C1E=2，则B1D=2由（1）知BC平面AA1B1B，则由G为AC的中点，知G到平面AA1B1B的距离为C到平面AA1B1B的距离的，即为=，=20已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（I）求数列an的通项公式；（）设bn=anlog2an，其前n项和为Sn，若（n1）2m（Snn1）对于n2恒成立，求实数m的取值范围【考点】数列的求和；对数的运算性质；数列递推式【分析】（）设出等比数列an的首项和公比
21、，由已知列式求得首项和公比，则数列an的通项公式可求；（）把（）中求得的通项公式代入bn=anlog2an，利用错位相减法求得Sn，代入（n1）2m（Snn1），分离变量m，由单调性求得最值得答案【解答】解：（）设等比数列的an首项为a1，公比为q由题意可知：，解得：或，数列为单调递增的等比数列，an=2n；（）bn=anlog2an =n2n，Sn=b1+b2+bn=121+222+n2n，2Sn=122+223+324+n2n+1，得：Sn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1=2n+12n2n+1，Sn=（n1）2n+1+2，若（n1）2m（Snn1）对于n2恒成立，则（n1）2m
22、（n1）2n+1+2n1=m（n1）2n+1+1n对于n2恒成立，即=对于n2恒成立，=，数列为递减数列，则当n=2时，的最大值为m则实数m得取值范围为，+）21设函数f（x）=lnx+a（1x）（）讨论：f（x）的单调性；（）当f（x）有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a1，根据函数的单调性即可求出a的范围【解答】解：（）f（x）=lnx+a（1x）的定义域为（0，+），f（x）=a=，若a0，则f（x
23、）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，若a0，则当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，（），由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）上无最大值；当a0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=lna+a1，f（）2a2，lna+a10，令g（a）=lna+a1，g（a）在（0，+）单调递增，g（1）=0，当0a1时，g（a）0，当a1时，g（a）0，a的取值范围为（0，1）选做题22已知直线C1（t为参数），C2（为参数），（）当=时，求C1与C2的交点坐标；（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，
24、当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线【解答】解：（）当=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）（）C1的普通方程为xsinycossin=0则OA的方程为xcos+ysin=0，联立可得x=sin2，y=cossin；A点
25、坐标为（sin2，cossin），故当变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程故P点轨迹是圆心为，半径为的圆选做题23已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当x，） 时，f（x）g（x），求a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（I）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出（）当x，）时，f（x）=1+a，不等式f（x）g（x）化为1+ax+3，化简利用a的取值范围、函数的单调性即可得出【解答】解：（）由|2x1|+|2x+1|x+3，得：或或由得：；由得：；由得：，综上，原不等式的解集为x|（）当x，）时，f（x）=1+a，不等式f（x）g（x）化为1+ax+3，xa2对x，）都成立，故a2，即a，又由已知a1，a的取值范围为（1，2016年12月29日