1、基础课4万有引力与航天知识排查开普勒行星运动定律1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。即k，比值k是一个对所有行星都相同的常量。万有引力定律1.表达式：FG，G为引力常量，其数值为G6.671011 Nm2/kg2。2.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。第一宇宙速
2、度第二宇宙速度第三宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度。(2)第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。(3)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。(4)第一宇宙速度的计算方法由Gm得v7.9 km/s由mgm得v7.9 km/s2.第二宇宙速度和第三宇宙速度名称大小挣脱第二宇宙速度(逃逸速度)11.2 km/s地球的引力束缚第三宇宙速度16.7 km/s太阳的引力束缚小题速练1.思考判断(1)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。()(2)同步卫星可以定点在北京市的正上方。()(3)极地卫星通过地球两极，
3、且始终和地球某一经线平面重合。()(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关。()(5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.源于人教版必修2P39“月地检验”牛顿提出太阳和行星间的引力FG后，为证明地球表面的重力和地球对月球的引力是同一种力，也遵循这个规律，他进行了“月地检验”。已知月球的轨道半径约为地球半径的60倍，“月地检验”是计算月球公转的()A.周期是地球自转周期的倍B.向心加速度是自由落体加速度的倍C.线速度是地球自转地表线速度的602倍D.角速度是地球自转地表角速度的602倍解析已知月球绕地球运行轨道半径是地球半径的60倍，月球轨道上一
4、个物体受到的引力与它在地面附近时受到的引力之比为，牛顿时代已经较精确的测量了地球表面的重力加速度g、地月之间的距离和月球绕地球运行的公转周期，根据圆周运动的公式得月球绕地球运行的加速度ar，如果，说明拉住月球使它围绕地球运动的力与地球上物体受到的引力是同一种力，故选项B正确。答案B3.人教版必修2P48第3题金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？解析根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg故金星表面的自由落体加速度g金g地0.82 m/s28.9 m/s2由万有引力充当向心力知得v 所以0.93v金0.937.9
5、 km/s7.3 km/s。答案8.9 m/s27.3 km/s万有引力定律的理解及应用1.万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图1所示。图1(1)在赤道上：Gmg1m2R。(2)在两极上：Gmg2。(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg。2.星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mgG，得g(2)在地球上空距离地心rRh处的重力加速度为gmg，得g所以【例1】(20
6、17江苏无锡期末)据当代天文学2016年11月17日报道，被命名为“开普勒11145123”的恒星距离地球5 000 光年，其赤道直径和两极直径仅相差6公里，是迄今为止被发现的最圆天体。若该恒星的体积与太阳的体积之比约为k1，该恒星的平均密度与太阳的平均密度之比约为k2，则该恒星的表面重力加速度与太阳的表面重力加速度之比约为()A.k2 B.k2 C. D.解析将恒星视为球体，有VR3R3，根据黄金代换，gR，所以k2，选项A正确。答案A中心天体质量和密度的估算中心天体质量和密度常用的估算方法使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGmrM只能得到中心天体的质量r、vGmM
7、v、TGmGmrM利用天体表面重力加速度g、RmgM密度的计算利用运行天体r、T、RGmrMR3当rR时利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、RmgMR3【例2】(2015江苏单科)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为()A. B.1 C.5 D.10解析行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Gmr，则1，选项B正确。答案B估算天体质量和密度的“四点”
8、注意(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有rR；计算天体密度时，VR3中的“R”只能是中心天体的半径。(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。(4)注意黄金代换式GMgR2的应用。卫星的运动规律1.卫星的各物理量随轨道半径变化的规律万有引力提供向心力，即由Gmmr2mrman可推导出：当r增大时2.卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于
9、赤道的平面内，如极地气象卫星。(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。3.地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T24 h86 400 s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据Gmr得r4.23104 km，卫星离地面高度hrR6R(为恒量)。(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。【例3】(2017江苏省泰州中学模拟)关于绕地运行的人造地球卫星，下列说法正确的是()A.卫星离地球越远，线速度越大B.卫星运行的瞬时速度可以大于7.9 km/sC.同一圆轨道上运行的两颗卫星，
10、向心力大小一定相等D.地球同步卫星可以经过两极上空解析根据万有引力提供向心力Gm，解得v由此可知距离地球越远，线速度越小，故选项A错误；由v可知，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径，此时速度等于7.9 km/s，当卫星在近地轨道加速会做离心运动，而做椭圆运动，故卫星做椭圆运动经过近地点时的速度大于7.9 km/s，故选项B正确；卫星在轨道上的向心力为F向G，可知当两颗卫星质量不等时，向心力大小也不相等，故选项C错误；地球同步卫星的轨道平面与赤道平面重合，故同步卫星不可能经过地球两极上空，故选项D错误。答案B处理卫星运动问题紧抓以下两点(1)一个模型：天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周
11、运动模型。(2)两组公式：Gmm2rmrman，mg(g为星体表面处的重力加速度)。卫星(航天器)的变轨和对接与相遇问题1.航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v判断。(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。2.变轨的两种情况【例4】(2017江苏省镇江市高三第一次模拟考试)(多选)如图2所示，发射升空的卫星在转移椭圆轨道上A点处经变轨后进入运行圆轨道，A、B分别为轨道的远地点和近地点。则卫星在轨
12、道上()图2A.经过A点的速度小于经过B点的速度B.经过A点的动能大于在轨道上经过A点的动能C.运动的周期大于在轨道上运动的周期D.经过A点的加速度等于在轨道上经过A点的加速度解析椭圆轨道上远地点的速度小于近地点的速度，选项A正确；从轨道上A点需加速才能到轨道，卫星在轨道上经过A点的动能小于在轨道上经过A点的动能，选项B错误；由开普勒第三定律得出选项C错误；根据牛顿第二定律，在两轨道上经过A点所受万有引力相同，加速度相同，选项D正确。答案AD【例5】假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高为36 00
13、0 km，宇宙飞船和一地球同步卫星绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻两者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为()A.4次 B.6次 C.7次 D.8次解析根据圆周运动的规律，分析一昼夜同步卫星与宇宙飞船相距最近的次数，即为卫星发射信号的次数，也为接收站接收到的信号次数。设宇宙飞船的周期为T，由mr，得T2， 则()3，解得T3 h设两者由相隔最远至第一次相隔最近的时间为t1，有()t1，解得t1 h再设两者相邻两次相距最近的时间间隔为t2，有()t22，解得t2 h由n6.5次知，接收站
14、接收信号的次数为7次。答案C天体相遇与追及问题的处理方法首先根据mr2判断出谁的角速度大，然后根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2的整数倍，即AtBtn2(n1、2、3)，相距最远时两星运行的角度差等于的奇数倍，即AtBt(2n1)(n0、1、2)双星模型模型建构能力的培养1.定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图3所示。图32.特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即m1r1，m2r2(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为r1r2L3.两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即
15、，与星体运动的线速度成正比，即。【典例】(2017江苏徐州市期中考试)(多选)2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图4所示，黑洞A、B可视为质点，它们围绕连线上O点做匀速圆周运动，且AO大于BO，不考虑其他天体的影响。下列说法正确的是()图4A.黑洞A的向心力大于B的向心力B.黑洞A的线速度大于B的线速度C.黑洞A的质量大于B的质量D.两黑洞之间的距离越大，A的周期越大解析双星靠相互间的
16、万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A对B的作用力与B对A的作用力大小相等，方向相反，则黑洞A的向心力等于B的向心力，故选项A错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由图可知A的半径比较大，根据vr可知，黑洞A的线速度大于B的线速度，故选项B正确；在匀速转动时的向心力大小关系为mA2rAmB2rB，由于A的半径比较大，所以A的质量小，故选项C错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以mArAmBrB，又rArBL，L为二者之间的距离，所以得mA，即T2，则两黑洞之间的距离越大，A的周期越大，故选项D正确。答案BD【变式训练】(2017南京调研)如图5所示为两个中子星相
17、互吸引旋转并靠近最终合并成黑洞的过程，科学家预言在此过程中释放引力波。根据牛顿力学，在中子星靠近的过程中()图5A.中子星间的引力变大 B.中子星的线速度变小C.中子星的角速度变小 D.中子星的加速度变小解析设两中子星距离为L，由FG可知当L减小时引力增大，选项A正确；两中子星绕中心做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，因此有m1r12m2r22G，r1r2L，解得，中子星的角速度增大，线速度v1r1和v2r2增大，加速度a1G和a2G增大，选项B、C、D错误。答案A1.(2017江苏省镇江市高三第一次模拟考试)下列说法符合物理学史实的是()A.伽利略通过斜面实验的合理外推，得出了自由
18、落体运动的规律B.开普勒发现了行星运动的规律，提出了万有引力定律C.卡文迪许利用扭秤实验巧妙地测出了静电力常量k的数值D.法拉第根据小磁针在通电导线周围的偏转现象发现了电流的磁效应解析伽利略通过斜面实验的合理外推，得出自由落体运动是匀加速直线运动，选项A正确；开普勒发现了行星运动的规律，牛顿提出了万有引力定律，选项B错误；卡文迪许测出了引力常量，选项C错误；奥斯特发现了电流的磁效应，选项D错误。答案A2.宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为
19、()A.0 B. C. D.解析飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即mg，得g，选项B正确。答案B3.(2017江苏盐城模拟)近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(k是一个常数)()A. B.kT C.kT2 D.解析由万有引力定律知Gmr，联立MR3和rR，解得，3为一常数，设为k，故选项D正确。答案D4.(2017江苏单科)(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空，与“天宫
20、二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其()A.角速度小于地球自转角速度B.线速度小于第一宇宙速度C.周期小于地球自转周期D.向心加速度小于地面的重力加速度解析根据万有引力提供向心力得，Gm(Rh)2mm(Rh)ma，解得v，T，a，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度为v1可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确。答案BCD
