1、满分示范练函数与导数【典例】(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0时，证明：f(x)2.(1)解：f(x)的定义域(0，)f(x)2ax2a1，若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0时，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为fln1，所以f(x)2等价于ln12，即ln10，设g(x)ln xx1，则g(x)1.当x(0，1)时，g(x)0；x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，
2、1)上单调递增，在(1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0.所以当x0时，g(x)0，从而当a0时，ln10，即f(x)2.高考状元满分心得1得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求g(x)的最小值和不等式性质的运用2得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f(x)在(0，)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x处最值的判定，f(x)2等价转化为ln10等3得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证如第(1)问中，求导f(x)准确，否则全盘
3、皆输，第(2)问中，准确计算f(x)在x处的最大值解题程序第一步：求函数f(x)的导函数f(x)；第二步：分类讨论f(x)的单调性；第三步：利用单调性，求f(x)的最大值；第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x)；第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式；第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范跟踪训练(2017山东卷改编)已知函数f(x)x3ax2，其中参数a0.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解：(1)由题意f(x)x2ax，所
4、以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)，令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以，当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递减；当x(a，)时，xa0，g(x)0，g(x)单调递增所以，当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，)上单调递增，无极值；当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.
