1、第十单元 空间几何体教材复习课“空间几何体”相关基础知识一课过空间几何体的结构特征过双基1简单旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到2简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形1关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是()A棱柱的
2、侧棱长都相等B棱锥的侧棱长都相等C三棱台的上、下底面是相似三角形D有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等2下列说法中正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选D当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；
3、若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误选D.清易错1认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识2台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别是棱D1C1，B1C1的中点，过E，F作一平面，使得平面平面AB1D1，则平面截正方体的表面所得平面图形为()A三角形 B四边形C五边形 D六边形解析：选D如图所示，平面是平面EFGHJK，截面是六边形，故选D.2下列几何体是棱台的是_(填序号
4、)解析：都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故不满足题意中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故不满足题意符合棱台的定义，故填.答案：直观图与三视图过双基1直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半2三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线提醒正视图也称主视图，侧视图也
5、称左视图(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线1用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选BD选项为正视图或侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.2如图所示，等腰ABC是ABC的直观图，那么ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形解析：选B由题图知ACy轴，ABx轴，由斜二测画法知，在ABC中，ACy轴，ABx轴，ACAB.又因为ACAB，AC2ABAB，ABC是直角三角形3现有编号为的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1
6、、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的编号是()A BC D解析：选B还原出空间几何体，编号为的三棱锥的直观图如图(1)三棱锥PABC所示，平面PAC平面ABC，平面PBC平面ABC，满足题意；编号为的三棱锥的直观图如图(2)三棱锥PABC所示，平面PBC平面ABC，满足题意；编号为的三棱锥的直观图如图(3)三棱锥PABC所示，不存在侧面与底面互相垂直，即满足题意的编号是.4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为()A. B2C3 D3解析：选C依题意，可知该几何体为如图所示三棱锥DABC，最长的棱AD3，故选C.清易错1画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能
7、看见的线和棱用虚线表示2一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B.2已知以下三视图中有三个表示同一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是()解析：选D对于选项A，相应的几何体是如图所示的三棱锥ABCD，其中AB平面BCD，且BCBD，AB3，BC1，BD2；对于选项B，相应的几何体可视为将选项A中的几何体按逆时针方向旋转90而得到的几何体；对于
8、选项C，相应的几何体可视为将选项A中的几何体按逆时针方向旋转180而得到的几何体综上所述，选D.空间几何体的表面积与体积过双基空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于()A12 B16C20 D32解析：选C由三视图画出该几何体的直观图如图所示，V棱柱42312，V棱锥4(63)28，所以组合体的体积VV棱柱V棱锥20.2(2017浙江高考)某几何体的三视图如图
9、所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3解析：选A由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V12331.3若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是_解析：设圆锥的母线与轴所成角为，由题意得Rl2R2，即l2R，所以sin ，即.即母线与轴所成角的大小是.答案：4如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为_解析：由三视图可知该几何体左侧是一个半圆柱，底面半径为1，高为2；右侧是一个棱长为2的正方体，则该几何体的表面积为S522
10、1212203.答案：203清易错1由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误2求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错3易混侧面积与表面积的概念1九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中图中小正方体的边长为1丈，则该楔体的体积为()A10 000立方尺 B11 000立方尺C12 000立方尺
11、D13 000立方尺解析：选A该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF所示，取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体可看作四棱锥FBCHG与三棱柱ADEGHF的组合体三棱柱ADEGHF可以通过割补法得到一个高为EF2，底面积为S323的一个直棱柱，故该楔形的体积V3223210(立方丈)10 000(立方尺)2如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A6 B12C18 D24解析：选B由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为2，下底半径为1，母线长为4，所以该几何体的侧面积为(21)412
12、.3若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S34222242246(26)227216.答案：7216一、选择题1如图所示，若P为正方体ABCDA1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是()ABC D解析：选C由题意，得PAC在底面ABCD，A1B1C1D1上的射影如图所示，PAC在其余四个侧面上的射影如图所示，故选C.2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为()A4 cm2 B4
13、 cm2C8 cm2 D8 cm2解析：选C依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.3在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A8 B12C20 D24解析：选C如图，由题意得PC为球O的直径，而PC2，即球O的半径R，所以球O的表面积S4R220.选C.4(2017北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四
14、棱锥的最长棱的长度为()A3 B2C2 D2解析：选B在正方体中还原该四棱锥如图所示，从图中易得最长的棱为AC12.5(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60 B30C20 D10解析：选D如图，把三棱锥ABCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥ABCD的高为4，故该三棱锥的体积V53410.6已知正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16C9 D.解析：选A如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，所以该球的表面积
15、为4r242.7(2018南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C由已知条件得直观图如图所示，PC底面ABC，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故选C.8已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1V2()A12 B21C11 D14解析：选A由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V18，V223，V1V212.二、填空题9(2017山东高考)由一个长方体和两个圆柱体
16、构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，V21121212.答案：210.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为_解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O(如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC2，斜边上的高为SO1，此高即为四棱锥的高，故V221.答案：11中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(单位：立方寸)
17、，则图中的x的值为_解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为2r1、高为x的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为5.4x,3,1的长方体，则该几何体的体积V(5.4x)31x12.6，解得x1.6.答案：1.612某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为_解析：构造长方体，则其体对角线长为，其在侧视图中为侧面对角线a，在俯视图中为底面对角线b，设长方体底面宽为1，则b21a216，则a2b28，利用不等式4，则ab4，当且仅当ab2时取等号，即ab的最大值为4.答案
18、：4三、解答题13已知正三棱锥V ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积解：(1)直观图如图所示(2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA 2，SVBC226.14(2018大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥(2)其侧视图如图所示，其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BCa，AD的长是正六棱锥的高，即ADa，故该平面图形的面积Saaa2.(3)该几何体的体积V6a
19、2aa3.高考研究课 求解空间几何体问题的2环节识图与计算全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度三视图的判断5年4考空间坐标系与三视图判断，求最长棱空间几何体的面积5年3考求表面积，由表面积求参数空间几何体的体积5年6考求组合体体积、体积比值、圆锥体积与球有关的结合体问题5年4考球内接几何体的体积问题空间几何体的三视图典例(1)(2016天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析(1)先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧(左)视图由几何体的
20、正视图和俯视图可知该几何体为图，故其侧(左)视图为图.(2)根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确答案(1)B(2)B方法技巧三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物
21、图即时演练1如图甲，将一个正三棱柱ABC DEF截去一个三棱锥A BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()解析：选C由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB平面DEF，DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.2.(2018昆明模拟)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P BCD的正视图与侧视图的面积之比为()A11B21C23 D32解析：选A根据题意，三棱锥P BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为
22、正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥P BCD的正视图与侧视图的面积之比为11.空间几何体的表面积与体积典例(1)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A6B9C12 D18(2)(2017全国卷)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为_解析(1)该几何体是一个直三棱柱截去所得，如图所示，其体积为3429.(2)如图，连接AO，OB，SC为球O的直径，点O为SC的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面S
23、CB，设球O的半径为R，则OAOBR，SC2R.VS ABCVASBCSSBCAOAO，即9R，解得 R3，球O的表面积为S4R243236.答案(1)B(2)36方法技巧1求解几何体的表面积与体积的技巧(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体求解(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化2根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤(1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图(2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解即
24、时演练1.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A. B.C. D.解析：选A如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，则BHC中BC边的高h.SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.2已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是()A94()cm2 B102()cm2C112()cm2 D112()cm2解析：选C如图所示，该几何体是棱长为2的正方体去掉两个小三棱柱
25、得到的四棱柱，其表面积为2221222112()cm2.3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为36，点E，F分别为棱B1B，C1C上的点(异于端点)，且EFBC，则四棱锥A1AEFD的体积为_解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2h36.又四棱锥A1AEFD可分割为两个三棱锥A1AED，A1DEF且这两个三棱锥体积相等，则VA1AEFD2VA1AED2VEADA12SADA1a2ahaa2h3612.答案：12与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变.,常见的命题角度有：(1)四面体的内切球与外接球；(2)三棱柱或四棱锥的
26、外接球；(3)圆柱或圆锥的内切球与外接球.角度一：四面体的内切球与外接球1三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为()A. B4C8 D20解析：选C由题意得，此三棱锥外接球即以ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC的外接圆半径r1，外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所以外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4R28.2已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是()A. B.C2 D4解析：选A由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为1，其顶点在底面的射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱
27、锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点，由此可知此球的半径为1，于是外接球的体积VR3.3若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.答案：角度二：三棱柱或四棱锥的外接球4(2018武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_解析：如图，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC4.在RtAOO1中，R2(4R)222，所以R，所以球的表面积S
28、4R225.答案：255(2018长春模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12，则该三棱柱的体积为_解析：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，设为O，则OAR，由4R212，得ROA，又易得AM，由勾股定理可知，OM1，所以MN2，即棱柱的高h2，所以该三棱柱的体积为()223.答案：36已知表面积为4的球有一内接四棱锥，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA平面ABCD，则四棱锥SABCD的体积为_解析：由S球4R24，解得R1，即2R2.四棱锥SABCD的直观图如图所示，其所在的长方体的
29、外接球即四棱锥的外接球，所以SA，所以四棱锥SABCD的体积VS四边形ABCDSA1.答案：角度三：圆柱或圆锥的内切球与外接球7(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B.C. D.解析：选B设圆柱的底面半径为r，则r2122，所以圆柱的体积V1.8若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面ABC及其内切圆O1和外接圆O2，且两圆同圆心，即ABC的内心与外心重合，易得ABC为正三角形，由题意知O1的半径为r1，即ABC的边长为2，圆锥的底面半径为，高为3，故V33
30、3.答案：39(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以.答案：方法技巧“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶
31、点的距离等于球的半径1.(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12C14 D16解析：选B由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为212.2(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去
32、一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36解析：选B法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V321032663.法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V32763.法三：(估值法)由题意，知V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B.3(2014全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的
33、棱的长度为()A6 B4C6 D4解析：选C如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥ABCD，最长的棱为AD6.4(2013全国卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：选A作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状易知选A.5(2016全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20B24C28D32解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，
34、设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.6(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是()A17 B18C20 D28解析：选A由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图设球的半径为R，则R3R3，解得R2.因此它的表面积为4R2R217.7(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C14
35、4 D256解析：选C如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVC AOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大，为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.8(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3
36、，估算出堆放的米约有()A14斛B22斛C36斛 D66斛解析：选B设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为Vr2525(立方尺)故堆放的米约有1.6222(斛)9(2014全国卷)正三棱柱ABCA1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1 的体积为()A3B.C1 D.解析：选C由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin 60，所以VAB1DC1ADSB1D C121.一、选择题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E是AB的三等分点，G，N是CD的三等分点，F，H分别是BC，MN的中点，则四棱锥A
37、1EFGH的侧视图是()解析：选C由直观图可知，点A1，H，E，F在平面CDD1C1的射影分别为D1，N，G，C，在平面CDD1C1，连接D1，N，G，C四点，从左侧看可知图形为选项C.2.(2017永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A1B.C. D2解析：选D由题意得，该几何体的直观图为三棱锥ABCD，如图，其最大面的表面是边长为2的等边三角形，故其面积为(2)22.3已知某空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448，则该几何体的表面积为()A2448 B24906C4848 D24666解析：选D由三
38、视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为3r、高为4r的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为3r的等腰直角三角形、高为4r的三棱锥，则(3r)24r3r3r4r2448，解得r2，则该几何体的表面积为6106266268624666.4已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A6012 B606C7212 D726解析：选D根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3，所以该组合体的体积为V(48)43223726.5某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为()A. B3C
39、. D解析：选C由三视图可知，该几何体是棱长为1的正方体截去4个角的小三棱锥后的几何体，如图所示，该几何体的外接球的直径等于正方体的对角线，即R，所以外接球的体积VR3.6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A72 B48C24 D16解析：选C由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为2,4，高是6的直角梯形，棱锥的高是4，则该几何体的体积V(24)6424.7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A. B.C. D.解析：选D由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是两腰长为3、底边长为4的等腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为4且垂直于
40、底面设等腰三角形的顶角为，由余弦定理可得cos ，sin ，由正弦定理可得底面三角形外接圆的直径2r，则球的直径2R ，所以外接球的表面积为.8(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：选B设球的半径为R，ABC的内切圆半径为2，R2.又2R3，R，Vmax3.二、填空题9四面体ABCD中，若ABCD，ACBD，ADBC2，则四面体ABCD的外接球的体积是_解析：作一个长方体，面对角线分别为，2，设长方体的三棱长分别为x，y，z，则则该长方体的体对角线为，则该长方体的外接球即为四面体
41、ABCD的外接球，则外接球的半径为R，体积为V3.答案：10.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，正视图是底边长为2的等腰三角形，则正视图的面积为_解析：因为正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底面是边长为2的正三角形，则该正三棱锥的侧棱长为，其三棱锥的高 即为正视图的高，又正视图是底边长为2的等腰三角形，则正视图的面积S2.答案：11若三棱锥SABC的所有的顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SAAB2，AC4，BAC，则球O的表面积为_解析：由题意，得三棱锥SABC是长方体的一部分(如图所示)，所以球O是该长方体的外接球，其中SAAB2，AC4，设球的半径为R，则2R2，所以球O的表
42、面积为4R220.答案：2012.(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当ABC的边长变化时，设ABC的边长为a(a0)cm，则ABC的面积为a2，DBC的高为5a，则正三棱锥的高为，25a0，0a0，即x42x30，得0x2，则当x时
43、，f(x)f(2)80，V4.所求三棱锥的体积的最大值为4.答案：4三、解答题13.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD6.由正视图可知AD6，且ADPD，所以在RtAPD中，PA 6(cm)14(2015全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，
44、F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B5C. D6解析：选A由三视图可知该几何体是直三棱柱ABDEFG和四棱锥CBDGF的组合体，如图，直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1,2，高是2，则该几何体的体积VV三棱柱ABDEFGV四棱锥CBDGFV三棱柱ABDEFGV三棱锥CDFGV三棱锥CBDFV三棱柱ABDEFGV三棱锥FCDGV三棱锥FBDC122222222.2如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A2 B2C4 D4解析：选A由三视图可知，该几何体是一个组合体：一个是底面半径为1、高为1的圆柱的一半，另一个是底面直角边长为的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的体积V21212.