1、课时跟踪检测（十五） 导数与函数的极值、最值(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1函数yxex的最小值是()A1BeC D不存在解析：选C因为yxex，所以yexxex(1x)ex，当x(，1)时，y0，当x(1，)时，y0，所以当x1时，ymin(1)e1.2函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1Ce D0解析：选B因为f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e，所以当x1时，f(x)取得最大值ln 111.3.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，
2、b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B由函数极值的定义和导函数的图象可知，f(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个4若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件解析：选Cy3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.故当x3时，该商品的年利润最大5若函数f(
3、x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为()A.B.C.D.解析：选D若函数f(x)x32cx2x有极值点，则f(x)3x24cx10有两个不等实根，故(4c)2120，解得c或c.所以实数c的取值范围为.6若exkx在R上恒成立，则实数k的取值范围为()A(，1 B1，)C(，1 D1，)解析：选A由exkx，得kexx.令f(x)exx，f(x)ex1.当f(x)0时，解得x0时，解得x0.f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数f(x)minf(0)1.实数k的取值范围为(，1故选A.7函数f(x)的极小值为_解析：f(x).令f(x)0，得x1.令f(x)0，得2x1
4、.f(x)在(，2)，(1，)上是减函数，在(2,1)上是增函数，f(x)极小值f(2).答案：8已知函数f(x)x33x29x1，若f(x)在区间k,2上的最大值为28，则实数k的取值范围为_解析：由题意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值又f(3)28，f(1)4，f(2)3，所以f(x)在区间k,2上的最大值为28，所以k3.答案：(，39(2018广东五校协作体考试)函数f(x)x(xa)2在x2处有极小值，则a_.解析：f(x)x(xa)2x32ax2a2x，
5、f(x)3x24axa2，依题意可得f(2)3224a2a20，解得a2或a6.当a6时，f(x)3x224x363(x28x12)，由f(x)3(x28x12)0可得x2或x6，由f(x)3(x28x12)0可得2x6，故f(x)在x2处取得极大值，不合题意故a2.答案：210从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_cm3.解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，x(0,5)则y(102x)(162x)x4x352x2160x，y12x2104x160.令y0，得x2或x(舍去)，ymax6122144(cm3)
6、答案：144B级中档题目练通抓牢1函数f(x)x25x2ex的极值点所在的区间为()A(0,1) B(1,0)C(1,2) D(2，1)解析：选Af(x)2x52ex为增函数，f(0)30，f(x)2x52ex的零点在区间(0,1)上，f(x)x25x2ex的极值点在区间(0,1)上2设直线xt与函数h(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为()A1 B.C. D.解析：选D由已知条件可得|MN|t2ln t，设f(t)t2ln t(t0)，则f(t)2t，令f(t)0，得t，当0t时，f(t)0，解得x1，令f(x)0，解得2x0，由f(x)3x23a3
7、(x)(x)，可得a1，由f(x)x33axb在x1处取得极小值2，可得13b2，故b4.所以f(x)x33x4的极大值为f(1)(1)33(1)46.答案：65已知函数f(x)x3ax2b(a，b为实数，且a1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为1，则a_，b_.解析：因为f(x)3x23ax3x(xa)，令f(x)0，解得x0或xa.因为a1，所以当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)1ab极大值b1ab由题意得b1.则f(1)，f(1)2，f(1)f(1)，所以1，所以a.答案：16(2018张掖一诊)设函数f(x)aln x，求
8、函数f(x)的单调区间和极值解：由f(x)aln x，得f(x)x(x0)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，函数既无极大值，也无极小值；当a0时，由f(x)0，得x或x(舍去)于是，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)函数f(x)在x处取得极小值f()，无极大值综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，函数f(x)既无极大值也无极小值；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间为(，)，函数f(x)有极小值，无极大值7已知函数f(x
9、)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0，当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40，由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为1，纵坐标为4，所以f(1)4.所以1abc4，得c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x2或x.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：x3(3，2)21f(x)00f(x)8
10、134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.C级重难题目自主选做(2018福建质检)已知函数f(x)xcos x(a1)sin x，x0，其中a.(1)证明：当x时，f(x)0；(2)判断f(x)的极值点个数，并说明理由解：(1)证明：依题意，得f(x)xsin xacos x，因为a，所以当x时，f(x)0，所以f(x)在上单调递减，故当x时，f(x)f(0)0成立(2)f(x)有唯一极值点理由如下：设p(x)f(x)，则p(x)xcos x(a1)sin x，因为a1，所以当x时，p(x)0，所以p(x)在上单调递增，因为p0，p()a0，所以p(x)在上存在唯一零点，记为.又由(1)知，当x时，p(x)0，所以p(x)在上无零点故f(x)在0，上存在唯一零点，当x(0，)时，f(x)0；当x(，)时，f(x)0.所以当x0，时，f(x)有唯一极值点，为极小值点