1、第4讲直线、平面平行的判定与性质考纲要求考点分布考情风向标1理解以下判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行2理解以下性质定理，并能够证明如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题2013年新课标卷第18题考查线面平行及几何体的体积计算；2016年新课标卷第19题考查线面平行的证明及体积的运算1在高考中，线、面平行关系的考查仅次于垂
2、直关系的考查，是高考重点内容，在要求上不高，属容易题，平时训练难度不宜过大，抓好判定定理的掌握与应用即可2学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”直线与平面的位置关系在平面内无数个交点相交1个交点平行0个交点定义若一条直线和平面平行，则它们没有公共点判定定理1a ，b，且aba判定定理2，aa性质定理a，a，lal平面与平面的位置关系相交无数个交点平行0 个交点定义若两个平面平行，则它们没有公共点判定定理 1 a，b，abM，a，b判定定理 2 a，a性质定理 1，aa性质定理 2，a，bab(续表)1设 AA是长方体的一条棱，这个长方体
3、中与 AA平行)的棱共有(A1 条B2 条C3 条D4 条2b 是平面外一条直线，下列条件中可得出 b的是DAb 与内一条直线不相交Bb 与内两条直线不相交Cb 与内无数条直线不相交Db 与内任意一条直线不相交C()3下列命题中，正确命题的个数是()A若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l；若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都没有公共点A1 个B2 个C3 个D4 个4已知直线 l，m，n 及平面，下列命题中的假命题是A若 lm，mn
4、，则 lnB若 l，n，则 lnC若 lm，mn，则 lnD若 l，n，则 lnD()考点1直线与平面平行的判定与性质图841图 D52【规律方法】证明直线a与平面平行，关键是在平面内找一条直线b，使 ab，如果没有现成的平行线，应依据条件作出平行线有中点的常作中位线【互动探究】1如图 842，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)图 842分别为棱的中点，知Q为BD的分点,矛盾得不到AB平解析：如题图，MNAC，NPAD，平面 MNP平面 ADBC.AB平面 MNP.如题图，假设 AB平面 MNP
5、，设 BDMPQ，则 NQ 为平面 ABD 与平面 MNP 的交线ABNQ.N 为 AD 的中点，Q 为 BD 的中点但由 M，P14面 MNP.如题图，BD 与 AC 平行且相等，四边形 ABDC为平行四边形ABCD.又M，P 为棱的中点，MPCD.ABMP.从而可得 AB平面 MNP.如题图，假设 AB平面MNP，并设直线 AC平面 MNPD，则有 ABMD.M 为BC中点，D 为 AC 中点，显然与题设条件不符，得不到 AB平面 MNP.答案：考点2平面与平面平行的判定与性质例2：(2013 年江苏)如图 843，在三棱锥 SABC 中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过点 A
6、 作 AFSB，垂足为F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点求证：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA.图 843证明：(1)ASAB，AFSB，F 是 SB 的中点E，F 分别是 SA，SB 的中点，EFAB.又EF 平面 ABC，AB平面 ABC，EF平面 ABC.同理，FG平面 ABC.又EFFGF，EF，FG平面 EFG，平面 EFG平面 ABC.(2)平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB，AF平面 SAB，且 AFSB，AF平面 SBC.又BC平面 SBC，AFBC.又ABBC，ABAFA，AB，AF平面 SAB，BC平面 SAB.又SA平面 SAB，BCSA.【
7、规律方法】证明平面与平面平行，就是在一个平面内找两条相交直线平行于另一个平面，从而将面面平行问题转化为线面平行问题【互动探究】2如图 844，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC 的中点求证：平面EFG平面 BB1D1D.图 844证明：E，F 分别为 BC，DC 的中点，EF 为BCD 的中位线，EFBD.又EF 平面 BB1D1D，BD平面 BB1D1D，EF平面 BB1D1D.连接 SB，同理可证 EG平面 BB1D1D.又 EFEGE，平面 EFG平面 BB1D1D.考点3线面、面面平行的综合应用例3：如图 845，已知有
8、公共边 AB 的两个正方形 ABCD和 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 APDQ.求证：PQ平面 CBE.(导学号 58940142)图 845连接EG，则.PQEG.证明：方法一，如图 846(1)，连接 AQ并延长交 BC于G，AQQGDQQB.APDQ，PEBQ，AQ APQG PE又PQ 平面 CBE，EG平面 CBE，PQ平面CBE.(1)(3)(2)图846方法二，如图 846(2)，分别过 P，Q 作 PKAB，QHAB，分别交 BE，BC 于点 K，H，则 PKQH.连接 KH，CDAB，AEBD，PEBQ，PKQH.四边形 PQHK 是
9、平行四边形PQKH.又PQ 平面 CBE，KH平面 CBE，PQ平面 CBE.方法三，如图 846(3)，过点P 作POEB，交AB于点O，连接 OQ，平面 POQ平面 CBE.又PQ 平面 CBE，PQ平面 POQ，PQ平面 CBE.【规律方法】证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行，方法一是作三角形得到的；方法二是通过作平行四边形得到在平面内的一条直线KH；方法三利用了面面平行的性质定理【互动探究】3(2015年安徽)已知m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若，不平行
10、，则在内不存在与平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行，故 A 不正确；若 m，n 平行于同一平面，则 m，n 可以平行、重合、相交、异面，故 B 不正确；若，不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于，交线的直线；D.其逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m，n 平行”是真命题，故 D 项正确故选 D.答案：D难点突破立体几何中的探究性问题一例题：(2014 年四川)在如图 847 所示的多面体中，四边形ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形(1)若 ACBC，求证直线 BC平面 ACC1A1；(
11、2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，则在线段 AB 上是否存在一点 M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论图 847解：(1)四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形，AA1AB，AA1AC.AB，AC 为平面 ABC 内的两条相交直线，AA1平面 ABC.直线 BC平面 ABC，AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线，BC平面 ACC1A1.(2)存在证明如下：如图 848，取线段 AB 的中点 M，连接 A1M，MC，A1C，AC1，设 O 为 A1C，AC1 的交点由已知，O 为 AC1 的中点连接 MD，OE，
12、图 848则 MD，OE 分别为ABC，ACC1 的中位线MD12AC，OE12AC.MDOE.连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DEMO.直线DE 平面 A1MC，MO平面 A1MC，直线 DE平面 A1MC.即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)，使得直线 DE平面 A1MC.【规律方法】解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明1直线与
13、平面平行判定定理要具备三个条件：(1)直线 a在平面外；(2)直线 b 在平面内；(3)直线 a，b 平行，三个条件缺一不可，在推证线面平行时，一定要强调直线 a 不在平面内，否则，会出现错误；平面与平面平行判定定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，必须注意“相交”的条件2直线与平面平行的性质定理：线面平行，则线线平行要注意后面线线平行的意义：一条为平面外的直线，另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线对于本定理要注意避免“一条直线平行于平面，就平行于平面内的任何一条直线”的错误3利用线面平行的判定定理时经常要作辅助线，利用线面平行的性质定理时经常要作辅助面，无论作辅助线还是辅助面，都得有理有据，不能随意去作，如果已知条件中出现中点的话，中位线是首选4在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”