1、数学一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 已知向量a =(3,x),b =(-2,2),若向量a b ,则实数x的值为( )A. 1B. 2C. 3D. -3【答案】C【解析】向量a =(3,x),b =(-2,2), 因为向量a b ,所以a b =-6+2x=0,x=3.2. 已知角的终边与单位圆相交于点P(- (3 )/2,1/2),则sin等于( )A. - (3 )/2B. - 1/2C. 1/2D. (3 )/2【答案】C【解析】由题意知|OP|=1(O为原点),角的终边与单位圆相交于点P(- (3 )/2,1/2), sin= 1/2,故选C.3. 右图是某班50位学生
2、期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100，则图中x的值等于（ ） A. 0.12B. 0.18C. 0.012D. 0.018【答案】D【解析】由频率分布直方图的性质可知，各个小长方形的面积之和等于1，即0.06+0.06+0.1+0.54+x10+0.06=1，解得x=0.018.4. 若tan,tan是方程x2 -2x-4=0的两根,则tan(+)=( )A. 2/5B. - 2/3C. - 2/5D. 2/3【答案】A【解析】tan,tan是方程x2 -2x-4=0的两根,则tan(+)= (
3、tan+tan)/(1-tantan) = 2/(1-(-4) = 2/5.5. 如图所示的两个变量具有相关关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】观察散点图，如果所有样本散点基本在某一函数曲线附近，则可认为两变量之间具有相关性。能反映两个变量的变化规律，它们之间是相关关系.6. 已知向量a =(3,4),b =(sin,cos),且a /b ,则tan(+)=( )A. - 4/3B. - 3/4C. 4/3D. 3/4【答案】D【解析】向量a =(3,4),b =(sin,cos),且a /b ,则3cos=4sin,即tan= 3/4, 则tan(+)=tan= 3/4
4、.7. 已知点M(-2,6),N(1,2),则与向量(MN) 同方向的单位向量为( )A. (3/5,- 4/5)B. (- 3/5,4/5)C. (4/5,- 3/5)D. (- 4/5,3/5)【答案】A【解析】由题意可得(MN) =(3,-4),选项B与(MN) 方向相反,选项C,D均不与共线,故选A.8. 若是ABC的一个内角,且sincos=- 1/8,则sin-cos的值为( )A. - (3 )/2B. (3 )/2C. - (5 )/2D. (5 )/2【答案】D【解析】是ABC的一个内角,sin0,sincos=- 1/8,故cos0,又(sin-cos)2 =sin2 +c
5、os2 -2sincos=1-2(- 1/8)= 5/4,所以sin-cos= (5 )/2.9. 袋中有3个白球和2个黑球,从中任意摸出2个球,则至少摸出1个黑球的概率为( )A. 7/10B. 3/7C. 1/10D. 3/10【答案】A【解析】因为袋中有3个白球和2个黑球,所以任意摸出2个球的所有情况有:白1黑1,白1黑2,白2黑1,白2黑2,白3黑1,白3黑2,白1白2,白1白3,白2白3,黑1黑2;共10种;至少摸出1个黑球的基本事件包含:白1黑1,白1黑2,白2黑1,白2黑2,白3黑1,白3黑2,黑1黑2;共7种,所以所求概率为7/10.故选A.10. 某校高中生共有900人,其中
6、高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,先采用分层抽取容量为45人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )A. 15,5,25B. 15,15,15C. 10,5,30D. 15,10,20【答案】D【解析】根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为45/900 = 1/20,则在高一年级抽取的人数是3001/20 =15人,高二年级抽取的人数是2001/20 =10人,高三年级抽取的人数是4001/20 =20人.11. 下列说法正确的是( )A. 若a b =b c ,则a =c B. 若a /b ,b /c ,则a /c C. 与向量a 共线的单位向量为(a )
7、/(|a |)D. 若a /b ,则存在唯一实数使得a =b 【答案】C【解析】若a b =b c ,a 、c 可以方向不同,A错误; 若a /b ,b /c ,则a /c ,当b =0 时不成立,B错误; 若a /b ,则存在唯一实数使得a =b (b 0 ),D错误,故选C.12. (sin57-sin27 cos30)/(cos27 ) =( )A. 1/2B. (3 )/2C. - 1/2D. - (3 )/2【答案】A【解析】(sin57-sin27 cos30)/(cos27 ) = (sin27 cos30+sin30 cos27-sin27 cos30)/(cos27 ) =s
8、in30= 1/2故选:A.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知tan=2,则(sin-2cos)/(3sin+5cos) =_.【答案】0【解析】将所求式子分子分母同时除以cos得(tan-2)/(3tan+5) = (2-2)/(32+5) =0.14. 在ABC中，|(AB) |=|(BC) |=|(CA) |=1，则|(AB) -(AC) |的值为_【答案】1【解析】(AB) -(AC) =(CB) ，而|(BC) |=1=|(CB) |15. 已知 且(a b =3 )，则(sin(-)的值为_.【答案】(- (3 )/2)【解析】由题意知：(a b =2cossin
9、-2sincos=-2sin(-)=3 ,)故而(sin(-)=- (3 )/2.)16. 已知向量a ,b 满足|a |=3 ,|b |=1,a 与b 夹角为450,则a b =_.【答案】(6 )/2【解析】|a |=3 ,|b |=1,a 与b 夹角为450,a b =|a |b |cos450 =3 1(2 )/2 = (6 )/2.三、解答题（第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题10分，共6小题70分）17. 已知向量a ,b 的夹角为600,且|a |=4,|b |=2, (1)求a b ; (2)求|a +b |.【答案】(1)
10、4(2)27 【解析】(1)向量a ,b 的夹角为600,且|a |=4,|b |=2, 可得a b =42cos=81/2 =4; (2)|a +b |=(a +b )2 ) =(a 2 +2a b +b 2 ) =(16+24+4) =28 =27 .18. 一个口袋内装有1个白球和编号分别为1,2,3的3个黑球,它们的大小、质地相同,从中任意摸出2个球.“摸出的2个球都是黑球”记为事件A, (1)共有多少个基本事件?每个基本事件是否等可能出现?该试验是古典概型吗? (2)事件A包含几个基本事件? (3)求事件A的概率.【答案】见解析【解析】(1)任意摸出2个球,共有(白,黑1),(白,黑
11、2),(白,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)6个基本事件, 每个基本事件是等可能出现的,这个试验是古典概型. (2)事件A包含(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3)3个基本事件. (3)由(1)(2)可知,事件A的概率为3/6 = 1/2.19. 函数y=ksinx+b的最大值是2，最小值为-4，求k，b的值【答案】（1）k=3；（2）b=-1.【解析】当k0时， (k+b=2-k+b=-4) (k=3b=-1)； 当k0时， (-k+b=2k+b=-4) (k=-3b=-1)； 当k=0时，无解. 综上所述k=3，b=-1.20. 已知函数f(x)= 1/2 s
12、inx+ (3 )/2 cosx,xR. ()求f(/6)的值; ()求函数f(x)的最大值,并求出取到最大值时x的集合.【答案】()1; ()f(x)_max =1,x|x=2k+ /6,kZ.【解析】()f(/6)= 1/2 sin /6 + (3 )/2 cos /6 = 1/4 + 3/4 =1. ()因为 ,所以函数f(x)的最大值为1,当x+ /3 =2k+ /2,即x=2k+ /6(kZ)时,f(x)取到最大值,所以,取到最大值时x的集合为x|x=2k+ /6,kZ.21. 求值： (1) ； (2) ；【答案】（1） （2） 【解析】（1）可知写成： （2）可写成： 22. 青
13、少年的“心理健康”问题引起越来越多的社会关注，某校对高一共600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，如图： (1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图. (2)试估计该校高一全体学生的成绩在 内的有多少人？ (3)请你估算该校高一全体学生成绩的平均分.【答案】略.【解析】（1)由题图可知样本容量为2/0.04 =50，所以成绩在70,80)内的频率为10/50 =0.20，成绩在80,90)内的频数为50-(2+8+10+14)=16,对应的频率为16/50 =0.32. 由此填表如下： 补全频率分布直方图，如图 (2)估计该校高一全体学生的成绩在 内的学生有600 (0 .20 +0.32)=312(人). (3)利用频率分布直方图，计算该校高一全体学生成绩的平均分为:550.04+650.16+750.2+850.32+950.28=81.4(分). 所以，估计该校高一全体学生成绩的平均分为81.4分.