1、课时跟踪检测（五十） 双 曲 线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1双曲线1的焦点到渐近线的距离为_解析：由题意知双曲线的渐近线方程为yx，焦点为(4,0)，故焦点到渐近线的距离d2.答案：22已知双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是_解析：依题意得m0，双曲线方程是x21，于是有 21，m.答案：3双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为_解析：由渐近线互相垂直可知e.答案：4已知双曲线的一个焦点F(0，)，它的渐近线方程为y2x，则该双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的标准方程为1，由题意得所以双曲线的标准方程为x21.答案：x215设F1，F2分别是双曲线x21的左
2、、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线右支于点B，则F1AB的面积等于_解析：由题意可得|AF2|2，|AF1|4，则|AB|AF2|BF2|2|BF2|BF1|.又F1AF245，所以ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，所以其面积为424.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于_解析：由双曲线的定义有|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.答案：92已知双曲线y21(a0)的一条渐近线与直线2xy30垂直，则该双曲线的准线方程是
3、_解析：双曲线y21(a0)的渐近线为yx，若其中一条与直线2xy30垂直，则有21，解得a2，双曲线y21的准线方程为x.答案：x3已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率e2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_解析：由题意得解得则b，故所求方程为x21.答案：x214双曲线1的两条渐近线与直线x1围成的三角形的面积为_解析：由题知，双曲线的渐近线为yx，故所求三角形的面积为21.答案：5(2016无锡调研)若双曲线1(a0，b0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是_解析：由条件，得|OP|22ab，
4、又P为双曲线上一点，从而|OP|a，2aba2，2ba，又c2a2b2a2a2，e.答案：6(2016淮安模拟)设F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为_解析：因为F1AF290，故|AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2，又|AF1|3|AF2|，且|AF1|AF2|2a，故10a24c2，故，故e.答案：7若双曲线1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为_解析：双曲线的一条渐近线方程为bxay0，一个焦点坐标为(c,0)根据题意知2c，所以c2b，ab，所以e.答案：8已
5、知F1，F2为双曲线1(a0，b0且ab)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点给出下面四个命题：PF1F2的内切圆的圆心必在直线xa上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线xb上；PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；PF1F2的内切圆必通过点(a,0)其中所有真命题的序号是_解析：设PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于A，B，与F1F2切于M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|PF2|2a，设点M的坐标为(x,0)，则由|PF1|PF2|2a，可得(xc)(cx)2a，解得xa，显然内切圆的圆心与点M的
6、连线垂直于x轴由以上分析易知，正确，错误答案：9双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)，(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围解：直线l的方程为1，即bxayab0.由(1,0)到l的距离d1，同理由(1,0)到l的距离d2，所以sd1d2.由sc，得c，即5a2c2，于是有52e2，即4e425e2250，解得e25，由e1得e.故双曲线的离心率e的取值范围为.10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：M0；(3)
7、求F1MF2的面积解：(1)e，则双曲线的实轴、虚轴相等可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：设(23，m)，M(23，m)(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4.由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016常州调研)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_解析：设双曲线方程为1(a，b0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则k
8、FB.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直关系得1显然不符合，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(舍负)答案：2已知P是双曲线1(a0，b0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且P0，若PF1F2的面积为9，则ab_.解析：因为e，所以ac，bc.因为0(即PF1PF2)，SPF1F29，所以|PF1|PF2|18.因为所以两式相减得，2|PF1|PF2|4b2，所以b29，所以b3，所以c5，a4，所以ab7.答案：73已知P(x，y)是双曲线1(a0，b0)上任意一点，F2(c,0)是双曲线右焦点，求PF2的最小值及取得最小值时点P的坐标解：因为P(x，y)是双曲线1(a0，b0)上一点，所以y2b2x2，从而PF2 .当点P在双曲线右支上时，xa，所以xa，即点P坐标为(a,0)时，PF2取最小值ca；当点P在双曲线左支上时，xa，所以xa，即点P坐标为(a,0)时，PF2取最小值ca.
