1、课时达标检测(四十九） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且，2，1，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值解：(1)由题易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可
2、知，|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2，(y1y20)从而，由2，1得，从而2，解得0k2.令t，则t，|28t228t1682，当t时，|QC|min2.2.已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由
3、抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r .又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切3(2018南通模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件知，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程
4、为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，知S1|x1x2|2，令k23t，知t3，S2.对函数yt(t3)，知y10，yt在t3，)上单调递增，t，0，0S.故OAB面积的取值范围为.二、重点选做题1(2018丹阳期初)过离心率为的椭圆C：1(ab0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|FB|，T(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若12，求ABT中AB边上中线长的取值范围解：(1)e ，c1，a，b1，即椭圆C的方程为：y21.(2)当直线的斜率为0时，显然不
5、成立设直线l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，由|FA|FB|，得y1y2，2，m2，又AB边上的中线长为 | | .2(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解：(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)(2)设直线AP的斜率为k，则直线BQ的斜率为.则直线AP的方程为yk，即kxyk0，因为BQAP，则可得直线BQ的方程为xkyk0，联立解得点Q的横坐
6、标xQ.因为|PA| (k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|PA|PQ|取得最大值.三、冲刺满分题1.已知椭圆C：1(0b2)的离心率为，与坐标轴不垂直且不过原点的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B(如图所示)，过AB的中点M作垂直于l1的直线l2，设l2与椭圆C相交于不同的两点C，D，且.(1)求椭圆C的方程；(2)设原点O到直线l1的距离为d，求的最大值解：(1)依题意得，解得b21，所以椭圆C的方程为y21.(2)设直线l1：ykxm(
7、k0，m0)，由得(14k2)x28kmx4m240，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故M.l2：y，即yx.由得x2x40，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3x4，故N.故|MN|xMxN| .又d，所以.令tk21(t1)，则12(当且仅当t2时取等号)，所以的最大值为.2(2018苏州高三暑假测试)如图，已知椭圆O：y21的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M.(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；求的取值范围解：(1)由题意B(0,1)，C(0，1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为1，即yx1，联立，解得或(舍)，即M.连结BF，则直线BF：1，即xy0，而BFa2，点M到直线BF的距离d.故SMBFBFd2.(2)设P(m，2)，且m0，则直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为yx1，联立化简得x2x0，解得M，所以k1m，k2，所以k1k2m为定值由知，(m,3)，m，2，所以(m,3)，令m24t4，故t7，因为yt7在t(4，)上单调递增，所以t7479，即的取值范围为(9，)