1、高中同步测试卷(四)单元检测导数与函数的极值与最值、生活中的优化问题举例(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的()A充分条件B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为()A1，3 B1，3C1，3 D1，33设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点4函数yx23x4在0，2上的最小值是()A
2、 BC4 D5函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是()Aa0 Ba0Ca0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 612有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒的最大容积是()A20 B18C16 D14题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13函数f(x)x2取极小值时x_14若函数f(x)在x1处取
3、极值，则a_15函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_16某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x6)，年销量为u万件，若已知u与成正比，且售价为10元时，年销量为28万件，则该产品的年最大利润为_万元三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)，x0，1求f(x)的单调区间和值域18(本小题满分12分)已知函数f(x)5在x1处取到极值求a的值，并求出f(x)的极值19.(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l：3xy10，若x时，
4、yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3，1上的最大值和最小值20(本小题满分12分)已知函数f(x)x3axb(a，bR)在x2处取得极小值.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)m2m在4，3上恒成立，求实数m的取值范围21.(本小题满分12分)设函数f(x)ax2，g(x)a2x2ln x2，其中aR，x0.(1)若a2，求曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程(2)是否存在负数a，使f(x)g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由22.(本小题满分12分)某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划
5、建成一个矩形高科技工业园区已知ABBC，OABC，ABBC2OA4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2)参考答案与解析1导学号14240024解析：选C.不妨设在点x0左侧导数为正，右侧导数为负，则任意xx0，f(x)x0，f(x)0，故ae时，y0；当0x0，所以y极大值f(e)e1，在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.7导学号14240026解析：选D.设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为
6、(4x)cm，两个三角形的面积和为Sx2(4x)2x22x4.令Sx20，则x2，所以Smin2 cm2.8解析：选A.因为f(x)6x2246(x2)(x2)，令f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2f(x)f(x)m32m因为f(x)在0，2上为减函数，所以当x2时，函数f(x)有最小值又因为当x0时，f(x)m最大，所以m3，从而f(2)29.所以最小值为f(2)29.9解析：选C.令f(x)ln x2，则由f(x)0，得x4；当0x4时，f(x)4时，f(x)0.x4是f(x)的唯一极小值点，且f(4)0，f(e4)e260，所以f(x)在
7、(e2，4)，(4，e4)上各有一个零点，故对应方程有2个根，故选C.10导学号14240027解析：选B.f(x)3x22axa6，由题意可知f(x)0没有根或两个相等实根，故4a212(a6)0，解得3a6，故选B.11解析：选B.依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x(0，0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2.令y0，得x0.032 4或x0(舍去)当0x0；当0.032 4x0.048 6时，y0.所以当x0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.
8、032 4时，银行获得最大收益12解析：选B.设正方形边长为x，则V(82x)(52x)x2(2x313x220x)(0x)V4(3x213x10)(0x)V0得x1，根据实际情况，小盒容积最大值是存在的，所以当x1时，容积V取得最大值18.13导学号14240028解析：因为f(x)x，x(0，1)时，f(x)0.所以x1时函数有极小值答案：114解析：因为f(x)，又因为在x1处取极值，所以f(1)0，所以121a0，所以a3.答案：315解析：因为x0，f(x)a，所以当a0时，f(x)6，所以x9.当6x0；当x9时，f(x)0，所以x9为f(x)的极大值点，所以当x9时，年利润最大，
9、最大年利润为f(9)135万元答案：13517解：对函数f(x)求导，得f(x)，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f(x)0f(x)43所以，f(x)的递减区间是；f(x)的递增区间是.当x0，1时，f(x)的值域为4，318解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，因为f(x)在x1处取到极值，所以f(1)0，解得ae，所以f(x)5，f(x).当0x0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)0，得x2或x0)假设存在负数a，使得f(x)g(x)对一切正数x都成立，即：当x0时，h(x)的最大值小于等于零h(x)a2a2x(x0)，令h(x)0可得：x1，x2(舍去)当0x0，h(x)单调递增；当x时，h(x)0)把点C(4，2)代入，有y2x(0x4，0y2)令P(t2，t)(0t2)，记工业园区面积为S，则S(4t2)(t2)t32t24t8，0t0，S是t的增函数；当t时，S0，S是t的减函数所以当t，即P点坐标为时，S取得最大值，且Smax9.5(km2)，此时矩形的长为km，宽为km.即把工业园区规划成长为km，宽为km的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大的用地面积约为9.5 km2.