1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。86.3平面与平面垂直(二)教室中黑板与地板所在的面相互垂直同学们喜欢在黑板上画线、写字、画画【问题1】在黑板上任意画一条直线，该直线与地板面什么关系？【问题2】怎样在黑板上画一条直线与地板面垂直？【问题3】黑板面上和黑板面与地板面交线垂直的直线与地板面什么关系？1平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言，l，a，ala图形语言文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平
2、面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言，l，a，ala图形语言2.空间线、面之间的垂直关系若平面平面，点A，过点A作直线l，那么直线l与平面的关系是什么？提示：直线l在平面内，即l.1.若平面，对于平面内的任意一条直线，能否在平面作无数条直线与平面垂直？2如果平面，那么平面与有什么样的位置关系？3如果平面与不垂直，那么在平面内是不是一定不存在与平面垂直的直线？提示：1.能；2.位置关系不能确定；3.是观察教材P161图8.634，在例10的条件下，过点C怎样作一条直线与平面PAB垂直？提示：在平面ABC内，过点C作AB的垂线，也可过C点作PB的垂线，即为垂直于平面PAB的直线1若平面平
3、面，直线a平面，则()A直线a平面 B直线a平面C.直线a与平面相交 D以上都有可能【解析】选D.因为直线a平面，平面平面，所以直线a与平面垂直、相交、平行都有可能2如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行 BEF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D相交且垂直【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直基础类型一与面面垂直相关的位置关系(直观想象、逻辑推理)1(2021长春高一检测)已知直线a和平面、有如下关系：，a，a
4、，则下列命题为真的是()A BC. D2如图，平面，直线a，b，满足，a，b，判断直线a和b的位置关系【解析】1.选C.对于A，由，a，可得a或a，故A错误；对于B，由，a，可得a或a或a与相交，故B错误；对于C，由a，过a作平面与相交，交线为b，则ab，因为a，所以b，而b，可得，故C正确；对于D，由，a，可得a，故D错误2如图，设m，n，在平面上取一点A，在平面内作ABm于B，ACn于C，因为，m，所以AB，因为a，所以ABa，同理ACa，又ABACA，所以a，因为b，所以ab.关于空间中的垂直关系(1)借助正方体等几何图形中垂直的面、线进行判断，也可以利用教室中的灯管、黑板面等实物代表直
5、线、平面，利用实物之间的位置关系进行判断；(2)结合直线、平面垂直的判定定理、性质定理进行推理论证基础类型二面面垂直性质定理的应用(逻辑推理)【典例】如图，在六面体ABCDEF中，ABCD，ABAD，且ABADCD1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF平面ABCD.证明：平面BCE平面BDE.【证明】因为ABCD，ABAD且ABADCD1，所以BDBC，CD2，所以BCBD，因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，四边形ADEF是正方形，EDAD，ED平面ADEF，所以ED平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以BCED，因为BD，ED平面BDE，BDEDD，所以BC平面
6、BDE，因为BC平面BCE，所以平面BCE平面BDE.【备选例题】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD.【证明】连接BD，因为四边形ABCD是菱形且DAB60，所以ABD是正三角形因为G是AD的中点，所以BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD. 应用面面垂直的性质定理的策略 (2)应用类型：证明线面垂直、线线垂直；作线面角或作二面角的平面角提醒：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，
7、通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可(2021雅安高一检测)如图，四边形ABCD是菱形，FD平面ABCD.求证：平面ACF平面BDF.【证明】在菱形ABCD中，ACBD，因为FD平面ABCD，所以FDAC.又因为BDFDD，所以AC平面BDF.而AC平面ACF，所以平面ACF平面BDF.【加固训练】 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，BC平面PAD，PBC90，PBA90.求证：平面PBC平面PAB.【证明】过P作PHAB于H，因为平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，所以PH平面ABCD.因为BC平面ABCD，所以BCPH.因为PBC
8、90，所以BCPB，而PBA90，于是点H与B不重合，即PBPHP，因为PB，PH平面PAB，所以BC平面PAB.因为BC平面PBC，故平面PBC平面PAB. 综合类型空间中直线、平面的垂直(逻辑推理)折叠问题(1)如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列说法中不正确的是()A.平面ACD平面ABD BABCDC平面ABC平面ACD DAD平面ABC(2)把边长为4的正方形ABCD，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使得平面ABD平面BCD，则空间四边形ABCD的对角线AC的长为()A4 B4 C2 D
9、2【解析】(1)选D.对于A，因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDCD，所以CD平面ABD，所以平面ACD平面ABD，即A正确；对于B，CD平面ABD，AB平面ABD，所以ABCD，即B正确；对于C，因为ABAD，ABCD，ADCDD，所以AB平面ACD，所以平面ABC平面ACD，即C正确；对于D，若AD平面ABC，则ADAC，与CDAD矛盾(2)选A.如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO，则AOBD，COBD，由平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，所以AOC90；又AOCOBD42，所以AC2AO2CO28816，所以AC4，即空间四边形ABCD的对角线
10、AC4.点拨：利用已知数据，根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，即判定线线垂直与面面垂直相关的折叠问题(1)将平面图形折叠成面面垂直后，先分析有无与两垂直平面交线垂直的直线，以利用面面垂直性质定理推得线面垂直若没有与交线垂直的直线，可考虑在其中一个平面内作与交线垂直的直线；(2)在折线同一侧的垂直关系折叠前后是不变的，充分利用折叠前后不变的垂直关系，构造条件解题空间直线、平面垂直的问题【典例】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点求证：(1)BG平面PAD；(2)ADPB.【证
11、明】(1)由题意知PAD为正三角形，G是AD的中点，所以PGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，所以PG平面ABCD，由BG平面ABCD，所以PGBG.又因为四边形ABCD是菱形且DAB60，所以ABD是正三角形，所以BGAD.又ADPGG，AD，PG平面PAD，所以BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD，BGPGG，BG，PG平面PBG，所以AD平面PBG，又PB平面PBG，所以ADPB.关于垂直关系的综合应用(1)熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路(2)垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要
12、证明的直线是关键，再利用线线垂直证明【加固训练】 如图，四棱锥PABCD，平面PAB平面ABCD，PAAB，ABCD，DAB90，PAAD，DC2AB，E为PC中点(1)求证：PABC；(2)求证：平面PBC平面PDC.【证明】(1)因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PAAB，PA平面PAB，所以PA平面ABCD.又因为BC平面ABCD，所以PABC.(2)因为APAD，设F为PD的中点，连接AF，EF，如图，则EFCD.又ABCD，所以EFAB.所以四边形ABEF为平行四边形，所以BEAF.因为PAAD且F为PD的中点，所以AFPD，又DAB90，所以ABDA，又PAA
13、B，PADAA，所以AB平面PAD，所以EF平面PAD，所以AFEF，又PDEFF，所以AF平面PCD.所以BE平面PDC.又因为BE平面PBC，所以平面PBC平面PDC. 创新题型空间垂直关系的综合应用(逻辑推理)【典例】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，D是BC的中点，侧面BB1C1C底面ABC.(1)求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1平面BB1C1C，则AMMA1吗？请叙述你的判断理由【解析】(1)因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.
14、因为底面ABC平面BB1C1C，底面ABC平面BB1C1CBC，所以AD平面BB1C1C.又CC1平面BB1C1C，所以ADCC1.(2)如图，延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.因为AMMA1，所以NA1A1B1.因为A1C1A1NA1B1，所以C1NB1C1，所以C1N侧面BB1C1C.又C1N平面BNC，所以截面C1NB侧面BB1C1C.所以截面MBC1侧面BB1C1C；(3)结论正确证明如下：过M作MEBC1于点E，连接DE，因为截面MBC1侧面BB1C1C，所以ME侧面BB1C1C.又AD侧面BB1C1C，所以MEAD，所以M，E，D，A四点共面因为MA侧面BB1C1C，所以AM
15、DE.所以四边形AMED是平行四边形，又AMCC1，所以DECC1.因为BDCD，所以DECC1，所以AMCC1AA1.所以AMMA1.1已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()A3 B2 C1 D0【解析】选C.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AA1D1D平面ABCD.对于，AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60，故错误；显然正确；对于，AD1平面AA1D1D，但AD1与平面
16、ABCD不垂直，故错误综上，正确命题的个数为1.2(2021昆明高一检测)已知直线l平面，直线m平面，若，则下列结论正确的是()Al或l BlmCm Dlm【解析】选A.对于A，直线l平面，则l或l，A正确；对于B，直线l平面，直线m平面，且，则lm或l与m相交或l与m异面，所以B错误；对于C，直线l平面，直线m平面，且，则m或m与相交或m或m，所以C错误；对于D，直线l平面，直线m平面，且，则lm或l与m相交或l与m异面，所以D错误3如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()A.PD平面ABCBPD平面ABCCPD与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABC【解析】选B.因为PAPB，ADDB，所以PDAB.平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面PAB.所以PD平面ABC.4如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_【解析】因为侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，所以PA平面ABC，又AB平面ABC，所以PAAB，所以PB.答案：5平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_【解析】因为，l，n，nl，所以n.又m，所以mn.答案：平行关闭Word文档返回原板块