1、第1节直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：0，).2.直线的斜率(1)定义：直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x
2、轴，则k(x1x2).若直线的倾斜角为()，则ktan_.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线常用结论与微点提醒1.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：009090900不存在k02.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.诊 断 自 测1.思考辨
3、析(在括号内打“”或“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()解析(1)当直线的倾斜角1135，245时，12，但其对应斜率k11，k21，k1k2.(2)当直线斜率为tan(45)时，其倾斜角为135.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.答案(1)(2)(3)(4)2.(2018衡水调研)直线xy10的倾斜角为()A.30 B.45 C.120 D.15
4、0解析由题得，直线yx1的斜率为1，设其倾斜角为，则tan 1，又0180，故45，故选B.答案B3.如果AC0，且BC0，在y轴上的截距0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.答案C4.(教材习题改编)若过两点A(m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为_.解析由题意得12，解得m2，A(2，6)，直线AB的方程为y612(x2)，整理得12xy180.答案12xy1805.( 教材习题改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为_.解析当纵、横截距均为0时，直线方程为3x2y0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50
5、.答案3x2y0或xy50考点一直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.(2)(一题多解)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_.解析(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，.设直线的倾斜角为，则有tan 1，.又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)法一设PA与PB的倾斜角分别为，直线PA的斜率是kAP1，直线PB的斜率是kBP，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由增至90，斜率的取值范
6、围为1，).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是(，.故斜率的取值范围是(，1，).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(k)0，即(k1)(k)0，解得k1或k.即直线l的斜率k的取值范围是(，1，).答案(1)B(2)(，1，)【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(k)0，即(3k
7、1)(k)0，解得k.即直线l的斜率的取值范围是.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.解由例1(2)知直线l的方程kxyk0，A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(2k1k)0，即(k1)(k1)0，解得1k1.即直线l倾斜角的范围是.规律方法1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数ktan 的单调性，当取值在，即由0增大到时，k由0增大到，当取值在时，即由增大到()时，k由增大到0.2.斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率.(2)公式法：若已知直
8、线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率.【训练1】 (2018惠州一调)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是()A.0，) B.C. D.解析设直线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1，1，所以1tan 1，又0，)，所以0或，故选B.答案B考点二直线方程的求法【例2】 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为，则sin (00；当k0时，直
9、线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k).依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.规律方法1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.2.求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.【训练3】 (一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.解法一设直线
10、方程为1(a0，b0)，点P(3，2)代入得12，得ab24，从而SABOab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0，23k)，SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立，即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.直线x的倾斜角等于()A.0 B. C. D.解析由直线x，知倾斜角为.答案C2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1k2k3B.k
11、3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k30，b0时，a0，b0.选项B符合.答案B8.(2018郑州一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()A.yx2 B.yx2C.yx D.yx2解析直线x2y40的斜率为，直线l在y轴上的截距为2，直线l的方程为yx2，故选A.答案A二、填空题9.已知三角形的三个顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为_.解析BC的中点坐标为，BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.答案x13y5010.已知
12、直线l过坐标原点，若直线l与线段2xy8(2x3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析设直线l与线段2xy8(2x3)的公共点为P(x，y).则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，设直线l的斜率为k.又kOA2，kOB.如图所示，可知k2.直线l的斜率的取值范围是.答案11.过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.解析若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案4x3y0或xy1012.设直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_.解析直线l的
13、方程变形为a(xy)2xy60，由解得所以直线l恒过定点(2，2).答案(2，2)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A.4x3y30 B.3x4y30C.3x4y40 D.4x3y40解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案D14.(2018成都诊断)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()
14、A. B.1，0C.0，1 D.解析由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0k1，即02x021，故1x0.答案A15.(2018呼和浩特模拟)若直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为_.解析直线axbyab(a0，b0)过点(1，1)，abab，即1，ab(ab)2224，当且仅当ab2时上式等号成立.直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.答案416.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是_.解析直线OA的方程为yx，代入半圆方程得A(1，1)，H(1，0)，直线HB的方程为yx1，代入半圆方程得B.所以直线AB的方程为，即xy10.答案xy10