1、第30课_正余弦定理及其简单应用_1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2. 能运用正余弦定理解决三角形中的有关问题.1. 阅读：必修5第517 页2. 解悟：正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？你会证明吗？正余弦定理可以解决哪些类型的斜三角形；第10页例5中所证明的结论是一个什么定理？你会证明吗？你会使用吗？重解第16页例5和例6，体会方法和规范3. 践习：在教材空白处，完成第10页练习第4、5题；第15页练习第3、4、5题；第16页练习第1、2、3题；第17页习题第5、6、10题.基础诊断1. 在ABC中，若b2，A，B，则BC_解析：因为b2，A，B，
2、所以由正弦定理得BC.2. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为_解析：因为a2b2c2bc，所以cosA，A.又bc4，所以ABC的面积为bcsinA.3. 在ABC中，已知A，ca，则ABC的形状是_等腰三角形或直角三角形_解析：A，ca，所以sinCsinA.因为0C，所以C或.当C时，ABC为直角三角形，当C时，ABC为等腰三角形4. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinAacosC，则角C_解析：由正弦定理可得，所以sinCsinAsinAcosC.又因为A(0，)，所以sinA0，所以sinCc
3、osC，即tanC1.因为C(0，)，所以C.范例导航考向 直接用正、余弦定理解三角形例1在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1) 求cosADB；(2) 若DC2，求BC.解析：(1) 在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知0ADB90，所以cosADB.(2) 由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5. 在ABC中，a7，b8，cosB.(1) 求角A的大小；(2) 求AC边上的高解析：(1) 在ABC中，因为cosB，所以B，所以sinB.由正
4、弦定理得，即，所以sinA.因为B，所以A，所以A.(2) 在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBsinBcosA.如图所示，在ABC中，因为sinC，所以hBCsinC7，所以AC边上的高为. 【注】 本例主要训练解三角形时，已知两边及其一边所对的角时用正弦定理；已知两边及其夹角时用余弦定理. 另外，注意互余的两个角的正余弦关系.考向 边角互化例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinC2csinBcosA0.(1) 求A大小；(2) 若a2，c2，求ABC面积S的大小解析：(1) 方法一(边化角)：由bsinC2csinBcosA0得sinBsinC2sin
5、CsinBcosA0.因为B，C(0，)，所以sinB0，sinC0，所以cosA.又A(0，)，所以A.方法二(角化边)：由bsinC2csinBcosA0得bc2bc0，所以bcb2c2a20，所以cosA.又A(0，)，所以A.(2) 由余弦定理得cosA，即，解得b2或b4(舍去)，所以SABCbcsinA22sin.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosAacosB2c.(1) 证明： tanB3tanA；(2) 若b2c2a2bc，且ABC的面积为，求a的值解析：(1) 根据正弦定理，由已知得：sinBcosAcosBsinA2sinC2sin(AB)，展开得
6、sinBcosAcosBsinA2(sinBcosAcosBsinA)，整理得sinBcosA3cosBsinA，由题意知cosB0，cosA0，所以tanB3tanA.(2) 由已知得b2c2a2bc，所以cosA，由0A得A，所以tanA.由(1)知tanB.由0B得B，所以C，故该三角形是顶角为的等腰三角形，且ac.由Sacsina2得a2.【注】 本例主要用于训练条件中既有边又有角时，统一角(边)，可采用角化边或边化角思想. 另外，条件中有切有弦时用切化弦的思想. 在化简式子过程中约去一个式子(数)，根据角的范围来确定式子(数)是否为零考向 含角平分线或中线的边角求解例3在ABC中，D
7、是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1) 求；(2) 若BAC60，求角B的大小解析：(1) 由正弦定理得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2) 因为C(BACB)，BAC，所以sinCsin(BACB)cosBsinB.由(1)知2sinBsinC，所以tanB.因为0B0)，所以cosC，即最大角的余弦值为.2. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a3，C120，ABC的面积S，则c_7_解析：因为a3，C120，ABC的面积S，所以absinC3bsin120，解得b5.由余弦定理可得c2a2b22abcosC92521549，则c7.3. 已知在AB
8、C中，AB，BC1，A30，则AC_1或2_解析：因为在ABC中，AB，BC1，A30，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosA，即AC23AC20解得AC1或2.4. 在ABC中，已知a2tanBb2tanA，则ABC的形状是_等腰三角形或直角三角形_解析：因为a2tanBb2tanA，所以a2b2，由正弦定理可得sin2Asin2B.又因为A，B(0，)，所以sinAsinB0，所以，即sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，因为A，B(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形1. 已知三角形的三边或两边和它们的夹角，适合用余弦定理求解，同时要注意方程思想的运用若已知条件中涉及边的平方关系或角的余弦，通常也用余弦定理2. 正弦定理一般解决两类问题：已知两角和任一边，求解三角形；已知两边及其中一边的对角，求解三角形第类问题也可以用余弦定理解用正弦定理解，需注意对解的情况的讨论3. 解三角形时要合理地进行边角互化，若已知条件中有边、角混合的式子，通常要化异为同，体会等价转化的数学思想4. 你还有哪些体悟，写下来：