1、2.3 平面向量的数量积2.3.2 向量数量积的运算律学习目标学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景及其含义2掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律并会运用课前自主学案温故夯基温故夯基1cos0(其中0，)为_；cos0(其中0，)为_2在代数式的运算中满足的运算律有：_、_、_等3代数式运算中，平方差公式：(ab)(ab)_；完全平方公式：(ab)2_，(ab)2_.锐角或零角钝角或平角交换律分配律结合律a2b2a22abb2a22abb2知新益能知新益能AOBb，a0a，bab同向反向a，b中至少有一个零向量轴l上轴l的方向上轴l的正向3向量的数量积(1)物理背景：一个力F使物体发生位移
2、s，所做的功W可以用下式计算W|F|s|cos.其中|F|cos就是_的数量，也就是_(2)定义：向量a与b的数量积(或内积)：两个非零向 量 a和 b，它 们 的 夹 角 为，则 数 量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作_.规定：_与任一向量的数量积为0.F在物体位移方向上的分量力F在物体位移方向上正射影的数量零向量|a|b|cosab(3)数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae_；(2)ab_；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab _；|a|cosab0|a|b|a|2思考感悟1向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：向
3、量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小又有方向这是二者的主要区别2若ab0，则有a0或b0，这种说法正确吗？提示：错误，实际上，由ab0可以推出以下四种可能：a0且b0；a0且b0；a0且b0；a0且b0，ab.4向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数，则交换律ab_数乘向量的数量积_(a)b_分配律(ab)cacbc.ba(ab)a(b)思考感悟3.对于向量a，b，c，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？提示：不一定成立若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而a(bc)0时，其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立课堂互动讲练考点突破
4、考点突破考点一平面向量数量积的运算根据平面向量的数量积的定义、几何意义和数量积的重要性质以及运算律，能够解决有关数量积、射影及夹角问题已 知|a|3，|b|6，当 ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab.例例11【思路点拨】由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出ab，第种情况夹角0或180，第种情况夹角90，第种情况夹角60.【解】当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos036118；若a与b反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos18036(1)18；当ab时，它们的夹角90，ab0；【点评】向量数量积的运
5、算应注意以下几点：(1)的范围为0，180；(2)对于非零向量a和b，abab0；(3)若ab0为锐角或零角，若ab0为钝角或平角解：(1)(2a 3b)(3a 2b)6a2 4ab 9ab6b2642545cos606524.考点二利用数量积解决长度、垂直及夹角问题例例22【思路点拨】应用向量数量积的公式或向量的几何意义求解考点三平面向量数量积的综合应用掌握好平面向量数量积的有关内容，对判断几何图形的形状、向量夹角的变化范围以及证明垂直都很有帮助已知两个非零向量a，b，夹角120，且(a3b)(7a5b)，问是否存在实数，满足(a4b)(ab)?例例33【解】由(a3b)(7a5b)，得(a
6、3b)(7a5b)0.即7|a|215|b|216ab0.由(a4b)(ab)，得(a4b)(ab)0，即|a|24|b|2(14)ab0，【点评】非零向量abab0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直的问题十分有效，应熟练掌握本题通过转化条件建立参数的方程求解变式训练3已知a，b是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，(1)求t的值；(2)已知a与b共线同向，求证：b(atb)方法感悟方法感悟1两向量的数量积是一个数量，而不是向量，可结合数量积的几何意义去理解定义的实质2数量积的性质，它们是由数量积的定义推出的，可在理解的基础上去记忆和应用3数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)4(ab)(cd)acadbcbd类似于多项式乘以多项式的运算法则5应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题