1、淮安市2013届高三第一次调研测试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填写在答题卷对应的位置上）高考#资￥源%网1.集合，则 2.若复数满足，其中是虚数单位，则 3.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品的种数是 4.已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 5.如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是 6.已知点在圆上运动，则到直线的距离的最小值是 7过点.
2、与函数（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 8.连续抛掷一个骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）两次，则出现向上点数之和大于9的概率是 9.如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长，若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高度为 10.已知，若，则的值为 11.若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列；类比上述性质，若数列是等差数列，则当 时，数列也是等差数列12. 已知双曲线，分别是双曲线虚轴的上、下端点，分别是双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为 13. 设等差数列的前项和为，若取值范围是 14
3、.已知函数，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是 二、解答题：（本大题共6道题，计90分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）高考#资￥源%网15.（本题满分14分）已知，分别是的三个内角，的对边，若向量， （1） 求角的大小； （2） 求函数的值域16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中， 为的中点.（1） 求证：平面；（2） 求证：平面.17.（本题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元，小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为
4、二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）（1） 大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2） 在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入销售收入总支出）18.（本题满分16分）已知椭圆的离心率，一条准线方程为求椭圆的方程；设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且当直线的倾斜角为时，求的面积；是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由19.（本题满分16分）已知各项均为正数的数列前项的和为，数列的前项的和为，且证明数列是等比数列，并写出通项公式；若对恒成
5、立，求的最小值；若成等差数列，求正整数的值20. （本题满分16分）已知函数（1） 求的最大值；（2） 若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（3） 若关于的方程恰有一解，其中为自然对数的底数，求实数的值淮安市20122013学年度高三年级第一次调查测试 数学试题参考答案与评分标准数学部分一、填空题：1 22 3 6 44 55 62 7 8 96 10 11 12 13 14 二、解答题：15(1) 因为向量，且，所以, 2分由正弦定理，得, 4分即，所以， 6分因为，所以； 8分(2) 因为 ,12分BACDA1B1C1G而，所以函数的值域为, 14分16（1）因为在直三棱柱中，所
6、以平面,因为平面，所以，又，,所以平面,因为，所以 4分又因为，所以是正方形，所以，又，所以平面， 8分(2)在正方形中，设，则为中点,为的中点，结,在中， 12分因为平面，平面，所以平面，14分17（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元，则，即，4分由，解得，6分而，故从第3年开始运输累计收入超过总支出 8分（2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出，所以销售二手车后，小张的年平均利润为，12分而，当且仅当时等号成立 答：小张应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大，14分18（1）因为， 2分解得，所以椭圆方程为 4分（2）由，解得 ，6分由 得 ， 8分所以，所以
7、 10分假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则因为，故，当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：，由，得，所以， 12分同理可得 （将中的换成可得）14分，当与的斜率有一个不存在时，可得，15分故满足条件的定圆方程为：16分19（1）因为，其中是数列的前项和，是数列的前项和，且，当时，由，解得，2分当时，由，解得； 4分由，知，两式相减得，即，5分亦即，从而，再次相减得，又，所以所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 7分其通项公式为 8分（2）由（1）可得，10分若对恒成立，只需对恒成立，因为对恒成立，所以,即的最小值为3；12分（3）若成等差数列，其中为正整数，则成等差数列，整理得，14分当时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式不能成立，所以满足条件的值为16分20（1）因为，所以，2分由，且，得，由，且，4分所以函数的单调增区间是，单调减区间是，所以当时，取得最大值；6分（2）因为对一切恒成立，即对一切恒成立，亦即对一切恒成立，8分设，因为，故在上递减，在上递增， ，所以 10分（3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解，由（1）知，在时， 12分而函数在上单调递减，在上单调递增，故时，14分故方程恰有一解当且仅当，即 16分