1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第4课时余弦定理、正弦定理应用举例高度、角度问题济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征某数学兴趣小组想测量泉标的高度，于是他们在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他们又沿着泉标底部方向前进，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80.【问题1】要想求出“泉标”的高度，还需要知道哪些量？【问题2】计算“泉标”的高度，需要用到哪些数学知识与数学方法？【问题3】你能帮助该兴趣小组计算出“泉标”的高度吗？1仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水
2、平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角如点B的方位角为(如图所示).方位角的取值范围：03601本质：仰角、俯角、方位角等都是人民在生产、生活中为方便使用而人为定义的一些角2混淆：方向角和方位角不是相同的角方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角3视角视角不是仰角，也不是俯角视角是指观察物体的两端视线张开的角度如图所示，视角60指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角方位角的范围为什么不是(0，)?提示：方位角的概念表明，
3、“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是0，2).1若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北44方向吗？2方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是吗？3已知三角形的三个角，能够求其三条边吗？提示：1.不是.2.不是.3.不是1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系是()A BC90 D180【解析】选B.由仰角与俯角的水平线平行可知.2已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40，B在C的南偏东60，则A在B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10【解析】选B.如图，因为ABC为等
4、腰三角形，所以CBA(18080)50，605010.即A在B的北偏西10.基础类型一利用余弦定理、正弦定理求高度问题(数学运算)1(2021南京高一检测)下面是如皋定慧寺观音塔的示意图，游客(视为质点)从地面D点看楼顶点A的仰角为30，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为45，若2BC3AC，则该观音塔的高AB约为()(1.73)A.8米 B9米 C40米 D45米【解析】1.选D.不妨设ACx，根据条件可得BCBEx，ABACBCx，因为tan ADB所以BDx，所以DEBDBE()x51，所以x18.02，所以ABx45米2在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60
5、，塔基的俯角为45，那么这座塔吊的高是()A20 m B20(1) mC10() m D20() m【解析】2选B.如图，由条件知四边形ABCD为正方形，所以ABCD20 m，BCAD20 m.在DCE中，EDC60，DCE90，CD20 m，所以ECCDtan 6020 m，所以BEBCCE(2020) m.3如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60和45，AB长为40 m，斜坡与水平面成30角，则铁塔CD的高为_m.【解析】3延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF
6、60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40 m，在ACD中，由正弦定理得，即，解得CD m.答案：解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形，在高度问题中，经常用到直角三角形(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用【加固训练】 在本节的导学素材中，假如测得AB相距15.2 m，你能帮助兴趣小组求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2
7、m，则ABD100，故ADB180(60100)20.在ABD中，根据正弦定理，.所以BD38.5(m).在RtBCD中，CDBD sin 8038.5sin 8038(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m基础类型二角度问题(逻辑推理、数学运算)【典例】某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45、距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10 km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间【解析】如图所示，设t小时后，舰艇与渔船在B处靠近，则AB10t，CB10t，在AB
8、C中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(10t)221010t cos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去).所以舰艇需1小时靠近渔船此时AB10 km，BC10 km.在ABC中，由正弦定理，得，所以sin CAB.又因为CAB为锐角，所以CAB30.所以舰艇航行的方位角BAD453075.答：舰艇航行的方位角为75，航行的时间为1小时解决角度问题时的注意方法：1测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解2在解三
9、角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角但角在上时，用正、余弦定理皆可微提醒：根据题意解决角度问题时，准确作图是关键，作图时注意各个量的含义，特别注意方向角与方位角的区别地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离【解析】如图，在PAB中，PAB30，PA40 m，AB40 m.由余弦定理，得PB40 m.因为AB40 m，所以ABPB，所以
10、APBPAB30，所以PBA120.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60方向上，且目标参照物P与他的距离为40m .综合类型余弦定理、正弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)底部(顶部)不可到达的高度测量问题(1)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】(1)由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 3030010
11、0 m.答案：100 (2)如图，某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30，过一分钟后到B再测得仰角为45，如果该飞机以每小时450 km的速度沿水平方向飞行，则飞机的高度为_ km.【解析】(2)由题意知，DCA60，DCB45，设飞机高为h km，则BDh km，ADh km.又AB4507.5 km，由ADBDAB得hh7.5.所以h km.答案：1对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个三角形其中，把不含未知高度的那个三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦
12、定理求解即可2对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可余弦定理、正弦定理在三角形综合问题中的应用【典例】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A(2ca)cos (B).(1)求角B的大小；(2)若b4，ABC的面积为，求ABC的周长【解析】(1)因为b cos A(2ca)cos (B)，所以b cos A(2ca)(cos B).由正弦定理可得sin B cos A(2sin Csin A)cos B，即sin (AB)2sin C co
13、s B，sin C2sin C cos B.又角C为ABC的内角，所以sin C0，所以cos B.又B(0，)，所以B.(2)由SABCac sin B，得ac4.又b2a2c22ac cos Ba2c2ac(ac)2ac16.所以ac2，所以ABC的周长为42.在本例(2)中，去掉条件“ABC的面积为”，求ABC周长的取值范围【解析】由余弦定理得b2a2c22ac cos B，即b2a2c2ac.又b4，所以16a2c2ac(ac)2ac(ac)2.所以(ac)216，所以(ac)2.即4ac.所以80，所以SABCABAC sin A10k210，所以k1，AB8，AC5，由余弦定理得B
14、C2AB2AC22ABAC cos A825228549，所以BC7，所以ABC的周长为ABBCAC20.答案：20创新题型三角形的面积问题(数学运算)【典例】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，b sin c sin a.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积【解析】(1)证明：由b sin c sin a及正弦定理，得sin B sin sin C sin sin A，即sin Bsin C，整理得sin B cos Ccos B sin C1即sin (BC)1.由于0B，0C，从而BC.(2)因为BCA，BC，所以B，C.由a，A，得b2sin ，c2sin
15、，所以ABC的面积Sbc sin Asin sin cos sin sin.三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决(2)若所给图形为平面三角形，则需运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式Sab sin C或Sbc sin A或Sac sin B进行求解【加固训练】已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sinA sin C.(1)若ab，求cos B.(2)若B90，且a，求ABC的面积【解析】(1)因为sin2B2sinA sin C，由正弦定理得b
16、22ac，因为ab，所以a2c.由余弦定理得cos B.(2)因为B90，所以a2c2b2，又b22ac，所以a2c22ac，即ac，所以SABC1.1设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是()A20 m， m B10 m，20 mC10() m，20 m D m， m【解析】选A.由题意，知h甲20tan 6020(m)，h乙20tan 6020tan 30(m).2如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得BCD12
17、0，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是()A.100 m B400 m C200 m D500 m【解析】选D.设ABx m，在RtABC中，ACB45，所以BCABx m；在RtABD中，ADB30，所以BDx m，在BCD中，BCD120，CD500 m，由余弦定理得(x)2x250022x500cos 120，解得x500(负值舍去).3若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15方向上 B北偏西15方向上C北偏东10方向上 D北偏西10方向上【解析】选B.如图所示，ACB90.又因为ACBC，所以CBA45.因为3
18、0，所以90453015.所以点A在点B的北偏西15方向上4如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC60 m，天文台最高处B的仰角为45，天文台底部C的仰角为15，则天文台BC的高为_m.【解析】由题图可得B45，BAC30，故BC30(m).答案：305.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60，求塔高【解析】在BCD中，CBD1801530135，由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBC tan ACB15tan 6015(米).所以塔高AB15米关闭Word文档返回原板块
