1、_1.5定_积_分15.1 & 1.5.2曲边梯形的面积定积分对应学生用书P24曲边梯形的面积如图，阴影部分是由直线x1，x2，y0和函数f(x)x2所围成的图形，问题1：利用你已学知识能求出阴影部分的面积吗？ 提示：不能问题2：若把区间1,2分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，你能近似地求出这些小曲边梯形的面积吗？提示：可以把每一个小曲边梯形看作一个小矩形求解问题3：我们知道，拆分后的所有小曲边梯形的面积和是该阴影部分的面积，如何才能更精确地求出阴影部分的面积呢？提示：分割的曲边梯形数目越多，所求面积越精确1曲边梯形的面积将已知区间a，b等分成n个小区间，当分点非常多(n很大
2、)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长于是，可用f(xi)x来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)xf(x2)xf(xn)x表示了曲边梯形面积的近似值2求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：定积分设函数f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为x，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，xi，xn，作和Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x.如果当x0(亦即n)时，SnS(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间a，b上
3、的定积分记为Sf(x)dx.其中，f(x)称为被积函数，a，b称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限定积分的几何意义问题1：试利用定积分的定义计算xdx的值提示：将区间0,1等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间的面积为Sif，所以SnSi(123n)，当n时，Sn，所以xdx.问题2：直线x0，x1，y0和函数f(x)x围成的图形的面积是多少？提示：如图，S11.问题3：以上两个问题的结果一样吗？提示：一样问题4：以上问题说明了什么道理？提示：定积分f(x)dx(f(x)0)的值等于直线xa，xb，(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的面积一般地，定积分 f(x)dx的几何意
4、义是，在区间a，b上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)1“分割”的目的在于更精确地实施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲边梯形”，分割越细，这种“代替”就越精确当n越大时，所有“小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积”2定积分f(x)dx是一个常数，即定积分是一个数值，它仅仅取决于被积函数和积分区间，而与积分变量用什么字母表示无关，如x2dxt2dt.利用定积分的定义求曲边梯形的面积例1求由直线x1，x2和y0及曲线yx3围成的图形的面积思路点拨依据求曲边梯形面积的步骤求解精解详析(1)分割如图，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间1,2等
5、分成n个小区间：，每个小区间的长度为x，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)以直代曲取各小区间的左端点i，用为一边长，以小区间长x为其邻边长的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为Six3(i1,2,3，n)(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD的面积S的近似值，即SSi3.(4)逼近当分割无限变细，即x0时，和式的值S.因为3(ni1)3(n1)33(n1)2i3(n1)i2i3n(n1)33(n1)23(n1)(n1)(2n1)
6、n2(n1)2，当n时，S311.一点通(1)规则四边形：利用四边形的面积公式(2)曲边梯形思想：以直代曲；步骤：分割以直代曲作和逼近；关键：以直代曲；结果：分割越细，面积越精确1已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22t(单位：km/h)，求它在1t2这段时间行驶的路程是多少？解：将时间区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为，在第i个时间段的路程近似为Sivt，i1,2，n.所以SnSi(n1)2(n2)2(n3)2(2n)2(n1)(n2)2n3，n时，3S.则当n时，3.由此可知，S.所以这段时间行驶的路程为 km.利用定积分的几何意义求定积分例2利用定积分的几何意义
7、，求：(1) dx；(2) (2x1)dx.思路点拨f(x)dx的几何意义：介于xa，xb之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和精解详析(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆(如图(1)所示)其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)在平面上，f(x)2x1为一条直线(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3围成的直角梯形OABC的面积(如图(2)所示)其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.一点通(1)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则图形常用分割法求面积，
8、注意分割点的确定(2)两种典型的曲边梯形面积的计算方法：由三条直线xa、xb(ab)、x轴，一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx(如图(1)所示)由三条直线xa、xb(ab)、x轴，一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx(如图(2)所示)2利用定积分的几何意义求dx.解：由y可得x2y24(y0)，其图象如图dx等于圆心角为60的弓形面积CDE与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin ，S矩形ABBC2，dx2.3利用定积分的几何意义求sin xdx.解：函数ysin x在x上是奇函数，sin xdx0.4利用定积分的几何意义求 d
9、x.解：令y，则(x1)2y21(0y1)因此 dx表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆的面积 dx.利用定积分表示平面图形的面积例3利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2.思路点拨画出图形，利用定积分的几何意义表示精解详析(1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则S(0)dxdx.(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，SA1A2，A1由y，y，x1围成；A2由y，yx2，x1和x4围成所以A12dx，A2(x2)dx，所以S2dx(x2)dx.一点通用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：(1)准确画出各曲线围成的平面区域；
10、(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；(3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；(4)根据定积分的几何意义写出结果5曲线ycos x(0x2)与直线y1围成的封闭图形的面积是_解析：如图，求曲线ycos x(0x2)与直线围成的封闭图形的面积可根据余弦函数图象的对称性转化为求由直线y0，y1，x0，x2围成的矩形的面积答案：26画出曲线ylogx，y0，x，x3所围成的平面区域并用定积分表示其面积解：曲线所围成的平面区域如图所示设此面积为S.则Slogxdxlogxdx.1当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a0)，求实数a的值解：由定积分的几何意义知：xdxaa1(a0)，则有a.7计算定积分(3x6)dx.解：如图，计算可得A的面积为，B的面积为6，从而(3x6)dx6.8利用定积分的几何意义求： dx.解：被积函数为y，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义，可知所求的定积分即为四分之一圆的面积，所以dx12.