1、高中同步测试卷(三)单元检测 应用举例(时间：100 分钟，满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1某次测量中，A 在 B 的北偏东 55，则 B 在 A 的()A北偏西 35B北偏东 55C南偏西 35D南偏西 552在ABC 中，AB 3，AC1，B30，则ABC 的面积等于()A.32B.34C.32 或 3D.32 或 343在一座 20 m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为 60，塔底俯角为 45，那么这座塔的高为()A201 33mB20(1 3)mC10(6 2)mD20(6 2)
2、m4在ABC 中，sin Csin Asin Bcos Acos B，则ABC 的形状为()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形5在ABC 中，A60，b16，SABC220 3，则 c 等于()A10 6B75C55D496.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得树尖的仰角为 30，45，且 A，B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为()A(3030 3)mB(3015 3)mC(1530 3)mD(153 3)m7.解放军某部举行实弹演习，其中炮兵阵地位于地面 A 处，两观测点分别位于地面 C 处和 D 处，已知 CD6 000 m
3、，ACD45，ADC75，目标出现于地面 B 处时，测得BCD30，BDC15，则炮兵阵地到目标 B 的距离是()A5 000mB6 000 mC1 000 42 mD1 000 55 m8如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待救援信息中心立即把消息告知在其南偏西 30，相距 20 n mile C 处的乙船，乙船立即沿直线 CB 前往救援，则 sinACB()A.217B.2114C.57D.5149有一广告气球，直径为 6 m，放在公司大楼上空，行人仰望气球中心的仰角为 30，测得气球的视角为 2，若 的弧度数很小时
4、，可取近似值 sin，则估计气球高度大约为()A70 mB76 mC86 mD118 m10如图，在四边形 ABCD 中，已知 BC120，AB4，BCCD2，则该四边形的面积等于()A.3B5 3C6 3D7 3题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)11一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为_海里/小时12.如图，在山腰测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000
5、 米至 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为_米13海上一观测站测得方位角 240的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时 90 n mile.此时海盗船距观测站 10 7 n mile，20分钟后测得海盗船距观测站 20 n mile，再过_分钟，海盗船到达商船14在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos A22 55，ABAC3，则ABC 的面积为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 60 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分 10 分)外国船只除特许者外，不得进入离我国海岸线
6、 d 海里以内的海域，设 B 和 C 是我国设在海边的两个观测站，B 与 C 之间的距离为 m 海里，假设海岸线是过 B、C 的直线一外国船只在点 A 处，现测得ABC，ACB，试求，满足什么关系时，应向未经特许的外国船只发出警告？16(本小题满分 10 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，CDDA4，求四边形 ABCD 的面积17.(本小题满分 10 分)某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上 A，B 两点处测量与地面垂直的塔 CD 的高，由 A，B 两地测得塔顶 C 的仰角分别为 60和 45，又知 AB 的长为 40 m，斜坡与水平面成
7、30角，则该转播塔的高度是多少米？18(本小题满分 10 分)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 A4，bsin(4C)csin(4 B)a.(1)求证：BC2；(2)若 a 2，求ABC 的面积附加题19(本小题满分 10 分)如图，一辆汽车从 A 市出发沿海岸一条笔直公路以每小时 100 km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在 A 市南偏东方向距 A 市 500 km 且与海岸距离为 300 km的海上 B 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交送给这辆汽车的司机(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 AB
8、 所成的角20(本小题满分 10 分)半圆 O 的直径长为 2，点 A 为直径延长线上一点，OA2，点 B为半圆上一点，以 AB 为边向外作等边ABC，问 B 点在什么位置时，四边形 CAOB 的面积最大，并求最大值参考答案与解析1导学号 99450040【解析】选 D.如图，A 在 B 的北偏东 55，则 B 在 A 的南偏西 55.2导学号 99450041【解析】选 D.由余弦定理得，13BC22 3BCcos 30，即 BC23BC20，BC2 或 BC1，SABC12 32sin 30 32 或 SABC12 31sin 30 34.3导学号 99450042【解析】选 B.如图所示
9、，AB 为观测台，CD 为水塔，AM 为水平线依题意，AB20，DAM45，CAM60，MD20，AM20，CM20 3，CD20(1 3)m.4导学号 99450043【解析】选 C.sin Csin Asin Bcos Acos B，由正弦定理得 c(cos Acos B)ab.再由余弦定理得 cb2c2a22bca2c2b22acab，(ab)(c2a2b2)0.c2a2b2.ABC 是直角三角形5导学号 99450044【解析】选 C.由面积公式得12bcsin A220 3，即1216c 32 220 3，所以 c55.6导学号 99450045【解析】选 A.由正弦定理可得60si
10、n（4530）PBsin 30，PB6012sin 1530sin 15，hPBsin 45(3030 3)m.7导学号 99450046【解析】选 C.在ACD 中，易求得CAD60.又CD6 000，ACD45，由正弦定理有：ADCDsin 45sin 60 23CD；同理，在BCD 中，易求得CBD135.由正弦定理得，BDCDsin 30sin 135 22 CD；又在ABD 中，易知ADB90，ABAD2BD22312CD 426 CD1 000 42(m)8导学号 99450047【解析】选 A.在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理，得 BC20 7，由正弦定
11、理，得 sinACBABBCsinBAC 217.9导学号 99450048【解析】选 C.如图在 RtADC 中，ACDCsinDAC3sin 180 3180.则 BC12AC270 86(m)故选 C.10导学号 99450049【解析】选 B.连接 BD(图略)，在BCD 中，由余弦定理可得BD22222222cos 12012，即 BD2 3.BCCD，CBD30.ABD90，即ABD 为直角三角形故 S 四边形 ABCDSBCDSABD1222sin 1201242 3 34 35 3.11导学号 99450050【解析】如图，根据正弦定理68sin 45MNsin 120，故 M
12、N34 6，所以船的航行速度为34 6417 62.【答案】17 6212导学号 99450051【解析】如图，SAB453015.又SBD15，ABS30，AS1 000.由正弦定理可知BSsin 15 1 000sin 30，BS2 000sin 15.BDBSsin 752 000sin 15cos 151 000sin 30500，且 DC1 000sin 30500.从而 BCDCDB1 000 米【答案】1 00013导学号 99450052【解析】如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于 A，B，C 处，20 分钟后，海盗船到达 D 处，在ADC 中，AC10 7，AD20，C
13、D30，由余弦定理，得cosADCAD2CD2AC22ADCD4009007002203012，ADC60.在ABD 中，由已知得ABD30，BAD603030.BDAD20，209060403(分钟)【答案】40314导学号 99450053【解析】因为 cos A2cos2A2135，所以 sin A45.又ABAC3，则 bccos A3，所以 bc5.因此，ABC 的面积 S12bcsin A2.【答案】215导学号 99450054【解】如图，作 ADBC，垂足为 D，在ABC 中，BAC180()，sinBACsin()由正弦定理，得 ABsin BCsin（）ACsin.故有 A
14、Bmsin sin（），ACmsin sin（）.由于 SABC12BCAD12mAD，且 SABC12ABACsin()，12msin sin（）msin sin（）sin()12mAD.从而有 ADmsin sin sin（）.因此，当 ADd，即sin sin sin（）dm时，应向外国船只发出警告16导学号 99450055【解】如图，连接 AC.BD180，sin Bsin D，S 四边形 ABCDSABCSACD12ABBCsin B12ADDCsin D14sin B.由余弦定理有，AB2BC22ABBCcos BAD2DC22ADDCcos D，即 4024cos B3232c
15、os D.又 cos Bcos D，56cos B8，cos B17.0B180，sin B 1cos2B4 37.S 四边形 ABCD14sin B8 3.17导学号 99450056【解】如图，根据题意可得，ABC453015，DAC603030，BAC150，ACB15.ACAB40 m.在ADC 中，BDC120，由正弦定理得，ACsin 120CDsin 30，CD40sin 30sin 120 40 33(m)，即转播塔的高度是40 33m.18导学号 99450057【解】(1)证明：由已知及正弦定理，得 sin Bsin(4 C)sin Csin(4 B)sin A，化简得 s
16、in Bcos Ccos Bsin C1，即 sin(BC)1.由于 0B，C34，从而 BC2.(2)BC34，BC2，所以 B58，C8.由正弦定理，得 basin Bsin A 2sin 58，casin Csin A 2sin 8.所以ABC 的面积 S12bcsin A 2sin 58 sin 8 2cos 8 sin 8 22 sin 4 12.19导学号 99450058【解】(1)如图，设快艇以 v km/h 的速度从 B 处出发，沿 BC 方向，t h 后与汽车在 C 处相遇，在ABC 中，AB500，AC100t，BCvt，BD 为 AC 边上的高，BD300.设BAC，则
17、 sin 35，cos 45.由余弦定理，得 BC2AC2AB22ABACcos，v2t2(100t)250022500100t45.整理，得 v2250 000t280 000t10 000250 0001t2 8251t425210 00010 0001625250 0001t 42523 600.当1t 425，即 t254 时，v2min3 600，vmin60(km/h)，即快艇至少以 60 km/h 的速度行驶才能把稿件送到司机手中(2)当 v60 km/h 时，在ABC 中，AB500，AC100254 625，BC60254 375，由余弦定理，得 cosABCAB2BC2AC22ABBC0，ABC90，故快艇应向垂直于 AB 的方向向北偏东行驶20导学号 99450059【解】如图所示，设AOB，在AOB 中，由余弦定理，得AB2OB2OA22OBOAcos 144cos 54cos.ABC 为等边三角形，SABC 34 AB2 34(54cos)SAOB12OAOBsin sin，S 四边形 CAOBsin 5 34 3cos 2sin3 5 34.0，56 时，S 四边形 CAOB 取最大值，为 25 34.