1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节向量与向量的线性运算1(2013揭阳一模)在四边形ABCD中，“，且0”是“四边形ABCD是菱形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由可得四边形ABCD是平行四边形，由0得四边形ABCD的对角线互相垂直，对角线互相垂直的平行四边形是菱形反之也成立“，且0”是“四边形ABCD是菱形”的充要条件故选C.答案：C2(2013吉林段考)在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A. B.C. D.0解析：，故C错答案：C3在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F
2、.若a，b，则()A.ab B.abC. ab D.ab解析：利用平面几何知识得出DFFC，然后利用向量的加减法则，可得答案B.答案：B4设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0解析：因为2，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B.答案：B5非零向量，不共线，且2xy，若(R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：，得()，即(1).又2xy，x22，且y2，消去得xy2.故选A.答案：A6已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若23，则()A. B. C. D.解析：由已知等式得22，即22，2，于是2|，即.故
3、选A.答案：A7在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对解析：由已知8a2b2(4ab)2.，又与不平行，四边形ABCD是梯形故选C.答案：C8已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足2，则点P一定为ABC的()AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点(非重心)C重心DAB边的中点解析：O是ABC的重心，0，.点P是线段OC的中点，即是AB边中线的三等分点(非重心)故选B.答案：B9(2013四川卷)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.解析：由于ABCD为平行四边形，对角线AC
4、与BD交于点O，2，2.答案：210(2013连云港调研)在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，则_.解析：由题知，且20.2得32，.答案：11(2013北京海淀区一模)如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么_(用和表示)解析：在CEF中，有，因为E为DC的中点，所以.因为点F为BC的中点，所以.所以.答案：12设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_答案：1:213(2013苏州调研)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且ab与c共线，bc与a共线，那么abc等于_解析：ab与c共线，ab1c.又bc与a共线，bc2a.由得：b1ca.bc1
5、cac(11)ca2a，即abccc0.答案：014设e1，e2是不共线的向量，已知向量2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，求k的值解析：e14e2，A，B，D三点共线，存在实数使.2e1ke2(e14e2)，得2，k4k8.15已知O是线段AB外一点，若a，b.(1)设点P，Q是线段AB的三等分点，试用向量a，b表示.(2)如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论解析： (1)如题图，点P，Q是线段AB的三等分点，()，则ab，同理ab，所以ab.(2)可有不同的答法：层次1：设A1是AB的二等分点，则；设A1，A2，A3是AB的四等分点，则；层次2：设Ak，Ank是AB的n等分点，则nkab；层次3：设A1， A2，An1是AB的n等分点，则n1(ab)；证明：A1，A2，An1是线段AB的n(n3)等分点，先证明这样一个基本结论：knk(1kn1，n，kN*)由kk，nknk，因为k和nk是相反向量，则knk0，所以 knk.记S123n2n1，Sn1n221，相加，得2S(1n1)(2n2)(n11)(n1)()，12n1(ab)