1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时正 弦 定 理从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，你能根据上述数据计算出河流的宽度BC吗？【问题1】要求河的宽度，还需要什么条件？【问题2】你能用以前学习的知识解决这个问题吗？【问题3】要想解决这个问题，还需要什么条件或什么性质呢？1正弦定理1本质：任意三角形中，边与角的正弦之间的关系2对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(
2、3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径2R，即2R，其中R是该三角形外接圆的半径2正弦定理的变形若R为ABC外接圆的半径，则(1)a2R sin A，b2R sin B，c2R sin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)sin Asin Bsin Cabc；(4)2R.(5)SABCbc sin Aac sin Bab sin C这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解
3、决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式在ABC中，AB是sin Asin B的什么条件？提示：在ABC中，若AB，则ab.由正弦定理得2R sin A2R sin B，即sin Asin B若sin Asin B，则2R sin A2R sin B(R是ABC的外接圆半径).由正弦定理得ab.综上所述，在ABC中，AB与sin Asin B的充要条件1正弦定理不适用于直角三角形吗？2在ABC中必有a sin Ab sin B吗？3在ABC中，若sin Asin B，则必有AB吗？提示：1.不是2.不是3.是的1在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A B C D1
4、【解析】选B.因为a3，b5，sin A，所以由正弦定理得sin B.2在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC()A.4 B2 C D【解析】选B.由正弦定理得，所以AC2.基础类型一已知两角及一边解三角形(数学运算)1在ABC中a10，B60，cos C，则c等于()A20(2) B20(2)C2 D20【解析】选B.由cos C得，sin C，sinAsin (BC)sin B cos Ccos B sin C.由正弦定理得，ca101020(2).2(2021上海高一检测)在ABC中，若AB2，B，C，则BC_【解析】因为ABC，由正弦定理得，所以BC.答案：3在ABC中，已知c1
5、0，A45，C30，解这个三角形【解析】因为A45，C30，所以B180(AC)105.由得a1010.因为sin 75sin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，所以b2055.已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边基础类型二已知两边及其中一边的对角解三角形(数学运算)【典例】已知ABC中的下列条件，解三角形：(1)a10，b20，A60；(2)a2，c，C.【解析】(1)因为，
6、所以sin B1，所以三角形无解(2)因为，所以sin A.因为ca，所以CA.所以A.所以B，b1.【知识拓展】在ABC中，已知边a，b和A时，三角形的解的几种情况：A为锐角时，解的情况如图(1)所示A为直角或钝角时，解的情况如图(2)所示已知两边及其中一边的对角解三角形的思路：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论微提醒：在三角形中，大边对大角，大角对大边，解题时要主动应用这个性质判断三角形的个数在ABC中，若a，b2，A30，则C_【解析】由正弦定理，得sin B.因为B(0，18
7、0)，所以B45或135，所以C1804530105或C1801353015.答案：105或15综合类型正弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)判断三角形的形状已知在ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos Bb cos A，则ABC一定是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形在ABC中，已知，试判断ABC的形状【解析】选A.由正弦定理得：a cos Bb cos Asin A cos Bsin B cos Asin (AB)0，由于AB，故必有AB0，AB，即ABC为等腰三角形因为，所以，所以sin A cos Asin B cos B，即sin 2Asin
8、 2B.所以2A2B或2A2B，即AB或AB.所以ABC为等腰三角形或直角三角形判断三角形形状的两种途径【加固训练】在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ca cos B(2ab)cos A，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【解析】选D.已知ca cos B(2ab)cos A，由正弦定理得sin Csin A cos B2sin A cos Asin B cos A，所以sin (AB)sin A cos B2sin A cos Asin B cos A，化简得cos A(sin Bsin A)0，所以cos A0或sin Bs
9、in A0，则A90或AB，故ABC为等腰三角形或直角三角形正弦定理、余弦定理的综合应用【典例】在ABC中，ab11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【思路探求】选择条件(1)由余弦定理求出(ab)(ab)492b，再结合ab11，即可求出a的值，(2)由正弦定理可得sin C，再根据三角形的面积公式即可求出，选择条件(1)根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得，再结合ab11，即可求出a的值，(2)由两角和的正弦公式求出sin C，
10、再根据三角形的面积公式即可求出【解析】选择条件：(1)由余弦定理得a2b2c22bc cos A，即a2b24914b492b，所以(ab)(ab)492b，因为ab11，所以11a11b492b，即11a13b49，联立解得a8，b3故a8.(2)在ABC中sin A0，所以sin A，由正弦定理可得，所以sin C，所以SABCab sin C836.选择条件：(1)在ABC中，sin A0，sin B0，C(AB)，因为cos A，cos B，所以sin A，sin B，由正弦定理可得，所以，因为ab11，所以a6，b5故a6；(2)在ABC中，C(AB)，所以sin Csin (AB)
11、sin A cos Bcos A sin B，所以SABCab sin C65.选条件解问题，是新高考改革中出现的新题型，在解决这类问题时，需要综合考虑已知条件与所求量的关系解决本题时，需要结合三角函数的有关公式探求已知量与未知量之间的“桥梁”，综合应用正弦定理、余弦定理及其变式寻求解决问题的思路、方法微提醒：求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备1在ABC中，一定成立的式子是()Aa sin Ab sin B Ba cos Ab cos BCa sin Bb sin A Da cos Bb cos A【解析】选C.由正弦定理，得a sin Bb sin A2在ABC中，若，则C的值为()A30 B45 C60 D90【解析】选B.由正弦定理知，所以，所以cos Csin C，所以tan C1，又因为C(0，180)，所以C45.3在ABC中，若a，b，B，则A_【解析】由正弦定理，得sin A，又A(0，)，ab，所以AB，所以A或.答案：或4在ABC中，a15，b10，A60，则cos B_【解析】由正弦定理，得，所以sin B.因为ab，所以AB，又因为A60，所以B为锐角所以cos B.答案：关闭Word文档返回原板块
