1、第七章 立 体 几 何(时间：120分钟满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分)1. (2013广东高考)设l为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是(B)A. 若l，l，则 B. 若l，l，则C. 若l，l，则 D. 若，l，则l 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.2. 已知直线l与平面成45角，直线m，若直线l在内的射影与直线m也成45角，则l与m所成的角是(C)A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 设l与m所成的角是，则cos cos 45cos 45，cos ，60.3. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB 2，CC12，E为CC1的中点
2、，则直线AC1与平面BED的距离为(D)A. 2 B. C. D. 1 连接AC交BD于点O，连接EO，过点O作OHAC1于点H，AB2，AC2，又CC12，OHsin 451.4. 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则直线AB与AA1所成角的余弦值为(D)A. B. C. D. 记BC的中点为D，该三棱柱的各棱长为a，直线AB与AA1所成的角是，则有A1D平面ABC，且cosA1AD，cos cosA1ADcosBADcos.5. (2013潍坊模拟)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题： 若m，n，nm，则；若m，m
3、，则 ；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是(B)A. B. C. D. 由面面垂直的性质可知正确6. (2013郑州质检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C) 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，故选C.7. (2013烟台诊断)如图所示，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是(A)A. B. C. 1 D. 由题意知三视图对应的几何体如图所示，故该几何体为正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即13111，选A. 8. (2013石家庄模拟)
4、已知正三棱锥PABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为(D)A. 4 B. 12 C. D. 由正视图得到正三棱锥的侧棱长为4，由俯视图得到正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，正三棱锥的高为2，外接球的半径为，外接球的表面积为.故选D.9. (2013德州模拟)已知直线l平面，直线m平面，下列命题正确的是(C)lm；lm；lm；lm.A. B. C. D. ，有可能相交，错误；正确；当时，由l或l，不一定有lm，错误；正确故选C.10. 设l是一条直线，是不同的平面，则在下列命题中假命题是(D)A. 如果，那么内一定存在直线平行于B. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直
5、于C. 如果，l，那么lD. 如果，l与，都相交，那么l与，所成的角互余 选项A，内平行于与的交线的直线与都是平行的，故为真命题；选项B是两个平面垂直的判定定理的逆否命题，故为真命题；选项C，设点Ml，过M作的垂线m，根据两个平面垂直的性质定理，m，m，于是 m，m，l为同一直线，从而l，故为真命题；选项D显然为假命题，故选D.11. 如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(D)A. A1D B. AA1 C. A1D1 D. A1C1 连接B1D1，则易证直线A1C1平面BDD1B1.而B1O平面BDD1B1，故B1OA1C1.12. (2
6、013南昌模拟)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是(C)A. B. 2 C. D. 3 由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为，则AB3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S，选C.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2013江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_4_ 依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，2R2(R为球
7、的半径)，R.球的体积VR34.14. (2013泰安质检)已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB8，BC2，则棱锥OABCD的体积为_16_ 球心在矩形的射影为矩形对角线的交点由题知矩形对角线长为2，棱锥的高为，棱锥的体积为8216.15. 将一个半径为5 cm的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架由三根细金属杆PA，PB，PC组成，它们两两成60角，球与金属杆PA，PB，PC的切点分别为A，B，C，则水晶球的球心到支架顶点P的距离是_5_cm. 如图所示，由已知条件可得三棱锥PABC是正四面体，球心O与正三角形ABC构成正三棱锥，且OAPA，OBPB，OCPC，PAPBP
8、C5，则PO5.16. (2012安徽高考)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则_(写出所有正确结论的编号)四面体ABCD每组对棱互相垂直；四面体ABCD每个面的面积相等；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互相垂直平分；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 错误，当AB4，AC3，AD3时，AC与BD不垂直；正确，在ABC与CDA中，ABCD，ADBC，ACAC，故ABC与CDA全等，同理四面体的四个面都全等，故四面体ABCD每个面的面积相等；错误，从正四面体A
9、BCD每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角，故其和为180；正确，如图所示，若E，F，G，H是所在边的中点，则四边形EFGH为菱形，故EG与FH互相垂直平分，同理可得连接四面体ABCD的每组对棱中点的线段相互垂直平分；正确，ADBC，ABCD，ACBD，从四面体ABCD的顶点A出发的三条棱的长可组成BCD，同理可得从四面体ABCD的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长三、 解答题(共70分)17. (10分)如图是三棱锥SABC的直观图与三视图，P为底面ABC内一点，PS与SA，SB，SC所成的角分别为，.求cos2cos2cos2的值 由三视图可知SA，SB，SC两
10、两互相垂直，(2分)以PS为体对角线构成一个长方体SDEFTMPN，其中D，F，T分别在SA，SB，SC上设SDa，SFb，STc，则cos ，cos ，cos ，且PS2a2b2c2，(6分)则cos 2cos2cos21.(10分)18. (10分)(2013江南十校联考)如图，等腰梯形ABCD中，BCAD，CEAD，AD3BC3，CE1.将CDE沿CE折起得到四棱锥FABCE(如图)，G是AF的中点(1)求证：BG平面FCE；(2)当平面FCE平面ABCE时，求三棱锥FBEG的体积,),) (1)取EF的中点M，连接GM，MC，则GM綊AE，又等腰梯形ABCD中，BC1，AD3，DE1，
11、BC綊AE.GM綊BC，四边形BCMG是平行四边形，BGCM.(4分)又CM平面FCE，BG平面FCE，BG平面FCE.(5分)(2)平面FCE平面ABCE，平面FCE平面ABCE CE，EF平面FCE，FECE，FE平面ABCE.(7分)又VFBEGVBGEFVBAEFVFABE，(8分)SABE211，VFBEG11.(10分)19. (12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)
12、(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？ (1)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V1Sh4(m3)(2分)若按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2Sh896(m3)(4分)(2)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m棱锥的母线长为l4(m)，则仓库的表面积S18432(m2)(7分)若按方案二，仓库的高变成8 m，棱锥的母线长为l10(m)则仓库的表面积S261060(m2)(10分)(3)V2V1，S2S1，故方案二比方案一更加经济(12分)20. (12分)(2013石家庄质
13、检)如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1.(1)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，B1BAB1BC60，P为线段B1B上的动点，当PAPC最小时，求证：B1B平面APC. (1)连接AC1，BC1，则ANNC1，AMMB，MNBC1.(3分)又BC1平面BCC1B1，MN平面BCC1B1，MN平面BCC1B1.(5分)(2)将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面，A到A的位置，此时ABCB1为菱形，(7分)可知PAPCPAPC，AC即为PAPC的最小值，(9分)此时，BB1AC，BB1PA，BB1PC，即BB1
14、PA，BB1PC，BB1平面APC.(12分)21. (12分)(2013南昌模拟)如图，多面体ABCA1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1BB1CC1，AA1平面ABC，AA1BB12CC14.(1)若O是AB的中点，求证：OC1A1B1；(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD平面A1B1C1？若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由 (1)取线段A1B1的中点E，连接OE，C1E，CO，已知等边三角形ABC的边长为4，AA1BB12CC14，AA1平面ABC，AA1BB1CC1，四边形AA1B1B是正方形，OEAB，COAB.(3分)又COOEO，AB平面EOC
15、C1，又A1B1AB，OC1平面EOCC1，故OC1A1B1，(6分)(2)设OEAB1 D，则点D是AB1的中点，连接CD，EDAA1，EDAA1，(8分)又CC1AA1，CC1AA1，CC1ED，CC1ED，四边形CC1ED是平行四边形，(10分)CDC1E，CD平面A1B1C1，即存在点D使得CD平面A1B1C1，点D是AB1的中点(12分)22. (14分)(2013天津模拟)如图所示，PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，AB2，E，F，G分别为PA，BC，PD的中点，AD2 .(1)求PB与平面ABCD所成的角；(2)求证：AGEF；(3)求多面体PAGF的体积 (1)取AD中点M，连接PM，BM.平面PAD平面ABCD，交线为AD，等边三角形PAD中，M为AD的中点，PMAD，PM平面ABCD，PBM即为所求(2分)PM2 ，MB，又PMB为直角三角形，PBM45，即PB与平面ABCD所成角为45.(4分)(2)连接EM，MF.等边PAD中，G是PD中点， GAPD，APD中，E是AP的中点，M是AD的中点，EMPD，AGME.平面PAD平面ABCD，交线为AD，MFAD，MF平面PAD. (6分)AG平面PAD，MFAG.EMMFM，AG平面EMF，AGEF. (9分)(3)VPAGFVFAGPMFSAGP2.(14分)