1、22.2椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质以方程1(ab0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x，y有限制的范围吗？提示：由10，得axa.同理byb.问题2：在方程中，用x代x，y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x0，得yb；令y0，得xa；与x轴的交点为(a,0)，(a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，b)椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybaya，bxb顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长短轴长2b，
2、长轴长2a焦点(c,0)(0，c)焦距F1F22c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e(0,1)1椭圆的对称性椭圆的图象关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称2椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0e4时，由c2a2b2m4，得.解得m.当mb0)由已知a2b，且椭圆过点(2，6)，从而有1或1.由得a2148，b237或a252，b213.故所求椭圆的标准方程为1或1.一点通在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离
3、心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_解析：由题意得2a12，所以a6，c3，b3.故椭圆方程为1.答案：14求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5.又因为e，所以c3.所以b2a2c225916.所以椭圆的标准方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，O
4、F为斜边A1A2的中线(高)，且OFc，A1A22b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.与椭圆离心率有关的问题例3已知椭圆M：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2.P是椭圆M上的任一点，且PF1PF2的最大值的取值范围为，其中c2a2b2，求椭圆的离心率的取值范围思路点拨由P是椭圆上一点，知PF1PF22a，进而设法求出PF1PF2的最大值，再由已知的范围求出离心率e的范围精解详析P是椭圆上一点，PF1PF22a，2aPF1PF22 ，即PF1PF2a2，当且仅当PF1PF2时取等号c2a23c2，2，e22，e.0e1，eb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A
5、2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为_解析：直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心到直线的距离da，整理为a23b2，即a23(a2c2)2a23c2，即，e.答案：6F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，PF1PQ且PF1PQ，求椭圆的离心率解：如图所示，设PF1m，则PQm，F1Qm.由椭圆定义得PF1PF2QF1QF22a.所以PF1PQF1Q4a.即(2)m4a.所以m(42)a.又PF22am(22)a.在RtPF1F2中，PFPFF1F.即(22)2a2(42)2a24c2.所以963(1)2.所以e.与椭圆相关的应用问题例4某宇宙飞船的运行
6、轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是R、R，求此宇宙飞船运行的轨道方程思路点拨根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程精解详析如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x轴建立坐标系，且令地心F2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x轴上的椭圆的标准方程，不妨设为1(ab0)，则地心F2的坐标为(c,0)，其中a2b2c2，则解得b2a2c222R2.此宇宙飞船运行的轨道方程为1.一点通解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a，b，c的关系，进而求出椭圆
7、方程，解决其它问题注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答7某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km，月球的半径约是1 800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是_解析：可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得2a1 70021 800200，a2 750.又a2c1 7001 800，c375.e.答案：8已知某荒漠上
8、F1、F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1、F2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(1,0)，F2(1,0)设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x，y)，则由已知得PF1PF24.由椭圆定义知点P在以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a2，c1，则b.P点的轨迹方程为1(y0)，同理Q点轨迹方程同上(2)SPF1QF2F1F2|yP|2cb2(
9、km2)，所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 km2.与椭圆相关的综合问题例5如图，A，B，C是椭圆M：1(ab0)上的三点，其中A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心O，且满足ACBC，BC2AC.(1)求椭圆M的离心率；(2)若y轴被ABC的外接圆截得的弦长为9，求椭圆M的方程思路点拨(1)确定OAC是以角C为顶点的等腰直角三角形，可得点A，B，C的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率(2)求出三角形外接圆的方程令x0，求a，b的值精解详析(1)因为BC过椭圆M的中心O，所以BC2OC2OB.又ACBC，BC2AC，所以OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则
10、A(a,0)，C，B，所以ABa，1，则a23b2，所以c22b2，故e，所以椭圆M的离心率为.(2)ABC外接圆的圆心为AB的中点P，半径为a，则ABC外接圆的方程为22a2.令x0，得ya或y，所以a9，解得a6.所以所求的椭圆方程为1.9在椭圆1上有两个动点P，Q，E(3,0)为定点，EPEQ，则的最小值为_解析：设P(x0，y0)，则有1，因为EPEQ，所以()22(x03)2y(x03)29，即x6x018，因为6x06，所以当x04时，取得最小值6.答案：610焦点是F(0,5)，并截直线y2x1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为_解析：设所求的椭圆方程为1(ab0)，直线被
11、椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，可得弦AB的中点坐标为，且，.将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得两式相减并化简，得23，所以a23b2，又c2a2b250，所以a275，b225，故所求椭圆的标准方程为1.答案：11椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置2椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状3讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论 对应课时跟踪训练(九) 1设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F
12、2，PF1F230，则C的离心率为_解析：法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_解析：依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：13.如图，已知椭圆C：1(ab0)，其中左焦点为F(2，0)，P为C上一点，满足OPOF，且PF
13、4，则椭圆C的方程为_解析：设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连结PF1，如图所示由F(2，0)，得c2.由OPOFOF1，知PF1PF.在RtPF1F中，由勾股定理，得PF1 8.由椭圆定义，得PF1PF2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.答案：14已知椭圆1(ab0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1k2的值为_解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x1，y1)，则y2b2，yb2.所以k1k21e21，即k1k2的值为.答案：5已知F1，F
14、2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_解析：设M(x，y)，因为0，所以M的轨迹方程为x2y2c2，其中F1F2为圆直径由题意知椭圆上的点在圆x2y2c2外部，设P为椭圆上任一点，则OPc恒成立，而OPb，所以bc，所以c2b2a2c2，所以a22c2，所以2，所以0e.答案：6已知点F1，F2分别是椭圆x22y22的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，求|的最小值解：设P(x0，y0)，F1(1,0)，F2(1,0)则(1x0，y0)，(1x0，y0)，所以(2x0，2y0)，所以|22.因为点P在椭圆上，所以0y1，所以当y1时，|取最小值为2.7已知A
15、，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)若M是椭圆的长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：(1)由已知可得点A(6,0)，B(6,0)，F(4,0)设点P(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)由已知得2x29x180，解得x或x6(与点A重合，舍去)因为y0，所以y，所以点P的坐标是.(2)直线AP的方程是xy60.设点M(m,0)，则点M到直线AP的距离是，所以|m6|.又6m6，解得m2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离d .因为6x6，所以当x时，d取到最小值
16、.8已知椭圆方程为1(ab0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零过D(1,0)的直线与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且DPDQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由解：(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.(2)设EF：xmy1(m0)，代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2)则(1x1，y1)，(x21，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y，得2，所以m1，m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90(*)，由(12k)24(3k21)90，得k1或k1.x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2.由DPDQ，得DMPQ，所以kDM，所以3k24k10，得k1或k，但k1，k均使方程(*)没有两相异实根，所以满足条件的k不存在