1、第十六节定积分及其简单应用1.下列式子中，正确的是()A. f(x)dxf(b)f(a)CB. f(x)dxf(b)f(a)C. f(x)dxf(b)f(a)D. f(x) 解析：由微积分基本定理(牛顿莱布尼兹公式)易知，C正确答案：C2已知M|x|dx，Ncos215sin215，则()AMN BMNCMN D以上都有可能解析：M|x|dx2xdx21，Ncos215sin215cos 30.故选B.答案：B3(2013汕头二模)如图所示，图中曲线方程为yx21，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A|(x21)dx|B. (x21)dxC. |x21|dxD. (x21)dx(
2、x21)dx解析：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S(1x2)dx(x21)dx|x21|dx.故选C.答案：C4(2013北京卷)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B2C.D.解析：由C：x24y，知焦点P(0,1)直线l的方程为y1.所求面积S4dx4|.答案：C5(2013汕尾二模)已知adx，函数yaxbx(ab)是奇函数，则函数ylogbx是()A增函数 B减函数C常数函数 D增函数或减函数解析：因为adx(ln xx)|e，所以函数yaxbxexbx，因为此函数是奇函数，所以f(x)f(x)，即ex
3、bxexbx，bxex恒成立，所以b，所以函数ylogbxlogx，函数是减函数故选B.答案：B6以初速度40 m/s竖直向上抛掷一物体，t秒时刻的速度为v4010t2，则此物体所能到达的最高高度是()A. m B. m C. m D. m答案：A7设函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，其中1x00，则x0_.解析：(ax2c)dxacf(x0)ax02c，因为a0，所以x02，又1x00，x0.答案：8计算定积分(x2sin x)dx_.解析： (x2sin x)dx. 答案：9. 一物体受到与它运动方向相反的力F(x)exx的作用，则它从x0运动到x1时F(x)所做的功
4、等于_解析：由题意知F(x)所做的功为dx.答案：10(2013江门一模)在平面直角坐标系xOy中，直线ya(a0)与抛物线yx2所围成的封闭图形的面积为，则a_.解析：由可得A(，a)，B(，a)，S=(ax2)dx(axx3)|2(aa)，解得a2.答案：211求下列定积分：(1)dx； (2) 2dx；(3)(sin xsin 2x)dx.解析：(1)dxdxx23x.(2)2dxdxx2ln x2x(2ln 24)ln.(3).12已知f(a)(2ax2a2x)dx，求f(a)的最大值解析：(2ax2a2x)dxaa2，即f(a)aa22.所以当a时，f(a)有最大值.13设函数f(x
5、)x3ax2bx在点x1处有极值2.(1)求常数a，b的值；(2)求曲线yf(x)与x轴所围成的图形的面积解析：(1)由题意知f(x)3x22axb，f(1)2且f(1)0，即解得a0，b3，即f(x)x33x.(2)作出曲线yx33x的图象(如右图)，所求面积为阴影部分的面积由x33x0，得曲线yx33x与x轴的交点坐标是(，0)，(0,0)和(，0)，而yx33x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称，所以(，0)的阴影面积与(0，)的阴影面积相等所以所求图形的面积为S2dx2.14物体A以速度v3t21在一直线上运动，在此直线上物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v10t的速度与A同向运动，问：两物体何时相遇？相遇时物体A走过的路程是多少？(时间单位：s，速度单位：m/s)解析：设A追上B时，所用的时间为t0，依题意有SASB5，即(3t21)dtt0010tdt5，t t0 5t 5，t0 (t 1) 5(t 1)，t05(s)，SA5t 5130(m)，5 s后两物体相遇，此时物体A走过了130 m.