1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层作业 十三变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题5分,共35分)1.f(x)是函数f(x)=x3+2x+1的导函数,则f(-1)的值为()A.0B.3C.4D.-【解析】选B.因为f(x)=x3+2x+1,所以f(x)=x2+2.所以f(-1)=3.2.已知函数f(x)=cos x,则f()+f=()A.-B.-C.-D.-【解析】选C.因为f(x)=-cos x+(-sin x),所以f()+f=-+(-1)=-.3.(2018吉林模拟)已知曲线y=ln x
2、的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y=ln x的定义域为(0,+),且y=,设切点为(x0,ln x0),则y=,切线方程为y-ln x0=(x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.【变式备选】曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A.1 B.2C.eD.【解析】选A.由题意知y=ex,故所求切线斜率k=ex=e0=1.4.(2018沈阳模拟)若曲线y=x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x-y=0,则实数a=()A.1B.-1C.2D.-1【解析】选C.导数的几何意义即为切线的斜率,由y=3x2
3、+a得在x=0处的切线斜率为a,所以a=2.【变式备选】直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线,则实数b的值为()A.2B.ln 2+1C.ln 2-1D.ln 2【解析】选C.y=ln x的导数为y=,由=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线方程y=x+b,可得b=ln 2-1.5.已知f(x)=2exsin x,则曲线f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为()A.y=0B.y=2xC.y=xD.y=-2x【解析】选B.因为f(x)=2exsin x,所以f(0)=0,f(x)=2ex(sin x+cos x),所以f(0)=2,所以曲线f(x)在点(0,f(
4、0)处的切线方程为y=2x.6.设曲线y=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于()A.-1B.C.-2D.2【解析】选A.因为y=,所以y=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-2【解析】选C.依题意知,y=3x2+a,则由此解得所以2a+b=1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为_.【解析】设切点为(x0,y0),y=4x,则4x0=4x0=1,所以y0=2,所以切线方程为:y-2=4(x-
5、1)4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.(2018长沙模拟)若函数f(x)=ln x-f(-1)x2+3x-4,则f(1)=_.【解析】因为f(x)=-2f(-1)x+3,所以f(-1)=-1+2f(-1)+3,解得f(-1)=-2,所以f(1)=1+4+3=8.答案:810.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,且当x1时,f(x)=xe2-x,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是_.【解析】因为f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称.当x1时,取点(x,y),该点关于(1,1)的对称点是(2-x,2-y)
6、,代入f(x)=xe2-x可得:2-y=(2-x)e2-(2-x),所以y=2-(2-x)ex=xex,y=(x+1)ex,y|x=0=1,所以切线方程为y=x,即x-y=0.答案:x-y=01.(5分)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程是 ()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【解析】选C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f(x)=4x-
7、1,所以f(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.【巧思妙解】选C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f(2-x)(2-x)=4x-7,令x=1可得-f(1)=-3,即f(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.2.(5分)(2018上饶模拟)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为 ()A.1B.C.D.【解析】选B.对于曲线y=x2-ln x上任意一点P,当过该点的切线斜率与直线y=x-2的斜率相同时,点P到直线的距离最小.因为定义域为(0,+),所以y=2x-=
8、1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=.【变式备选】曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是_.【解析】如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),则y=2,得x=,y=ln =0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是,y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案:3.(5分)(2018沧州模拟)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为_.【解析】易知点
9、O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,(1)当O(0,0)是切点时,切线方程为y=2x,则联立y=2x和y=x2+a得x2-2x+a=0,由=4-4a=0,解得a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且k=f(x0)=3-6x0+2.又k=-3x0+2,由,联立,得x0=(x0=0舍),所以k=-,所以所求切线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0.依题意,=-4a=0,所以a=.综上,a=1或a=.答案: 1或【易错警示】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切”.这里有两种可能:一是点O是切点
10、;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中易忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是当点O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l的方程,导致解题复杂化,求解受阻.4.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f(2)=13.所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-3
11、2.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率k为f(x0)=3+1,y0=+x0-16,所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)+x0-16.又因为直线l过原点(0,0),所以0=(3+1)(-x0)+x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切点坐标为(-2,-26),k=3(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).5.(13分)已知函数f(x)=x-1+(aR,e为自然对数的底数). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值.(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求l的直线方程.【解析】(1)f(x)=1-,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,所以f(1)=1-=0,解得a=e.(2)当a=1时,f(x)=x-1+,f(x)=1-.设切点为(x0,y0),因为f(x0)=x0-1+=kx0-1,f(x0)=1-=k,+得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.若k=1,则式无解,所以x0=-1,k=1-e.所以l的直线方程为y=(1-e)x-1.关闭Word文档返回原板块