1、2.4抛_物_线24.1抛物线的标准方程平面直角坐标系内，有以下点和直线A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0，3)；l1：x3，l2：x3，l3：y3，l4：y3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y212x. 问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y212x.问题3：到定点C和定直线l3或到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢？提示：x212y，x212y.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y22px(p0)x向右y22px(p0)x向左x22py(p0)y向上x22py(p0)y向下1平面内到一个定
2、点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线定点F不在定直线l上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的垂线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程例1已知抛物线的方程yax2(a0)，求它的焦点坐标和准线方程思路点拨由题意yax2，(a0)，可化为x2y，再依据抛物线的标准方程得焦点和准线方程精解详析将抛物线方程化为标准方程x2y(a0)，显然抛物线焦点在y轴上，(1)当a0时，p，焦点坐标F，准线方程y.(2)当a0)，其准线方程为x，则3，p6.抛物线标准方程为y212x.(2)设抛物线标准方程为y22px(p0)焦点坐标为，p5.抛
3、物线标准方程为y210x.一点通待定系数法求抛物线标准方程的步骤：(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位)(3)利用题中所给数据确定p.(定量)3以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_解析：双曲线1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y216x.答案：y216x4根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解：(1)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22
4、px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.抛物线方程的应用例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置思路
5、点拨建立直角坐标系，设出标准方程为y22px(p0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出p.精解详析如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px(p0)由已知条件可知点A(40,30)，代入方程，得p.所求抛物线的标准方程是y2x，焦点坐标是.一点通将实际问题转化为数学问题，需要建立适当的直角坐标系，再根据条件确定抛物线的标准方程的类型这里，直角坐标系的建立非常重要，同学们要认真观察实物的形状，根据实物形状“适当”建立5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的
6、坐标解：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程y22px(p0)，可知其准线为x，即910，则p2，所以抛物线为y24x，当x9时，y236，得y6，所以点M的坐标为(9,6)或(9，6)6已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.7一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱
7、口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则2m，ma.即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y.欲使卡车通过隧道，应有y3，即3.a0，a12.21.a应取13.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)对应
8、课时跟踪训练(十二) 1抛物线x28y的焦点坐标是_解析：由抛物线方程x28y知，抛物线焦点在y轴上，由2p8，得2，所以焦点坐标为(0,2)答案：(0,2)2已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上的点P(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为_解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x轴上，且过p(3，m)，可设抛物线方程为y22px(p0)，由抛物线的定义可知，35.p4.抛物线方程为y28x.答案：y28x3若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_解析：椭圆1的右焦点为(2,0)，由2，得p4.答案：44抛物线x2ay的准线方程是y2，则实数a的值是_解析：由条件知，a
9、0，且2，a8.答案：85双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为_解析：y24x的焦点为(1,0)，则c1，2，a，即ma2，nc2a2，mn.答案：6根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，AF5.解：(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)，且3，p6，方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义，得5AF.又(3)22pm，p1或p9，
10、故所求抛物线方程为y22x或y218x.7设抛物线y2mx(m0)的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程解：当m0时，由2pm，得，这时抛物线的准线方程是x.抛物线的准线与直线x1的距离为3，13，解得m8，这时抛物线的方程是y28x.当m0时，13，解得m16.这时抛物线的方程是y216x.综上，所求抛物线方程为y28x或y216x.8一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水宽4 m，若水面下降1 m，求水的宽度解：如图建立直角坐标系设抛物线的方程为x22py，水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，点(2，2)在抛物线上，44p，p1.x22y，水面下降1 m，即y3，而y3时，x，水面宽为2 m.即若水面下降1 m，水面的宽度为2 m.