1、高中同步测试卷(二)单元检测 空间几何体的表面积与体积(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是()2若正方体的表面积为 72，则它的体积为()A2 3B12 3C24 3D6 33木星的体积约是地球体积的 240 30倍，则它的表面积是地球表面积的()A60 倍B60 30倍C120 倍D120 30倍4长方体的一个顶点上三条棱的长分别是 3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这
2、个球的表面积是()A.22B25 2C50D2005用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面面积为，则球的体积为()A.323B.83C8 2D.8 23 6如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 3B9 3C12 3D18 37已知圆柱的侧面展开图是边长分别为 2a，a 的矩形，则该圆柱的体积为()A.a32或a3B.2a3C.a3D.a3 或2a38一个圆锥的正视图和侧视图均为正三角形，其面积为 S，则圆锥侧面积为()A.8S3B.8S3C.4S3D.2S39已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1 和 V2，则 V
3、1V2()A13B11C21D3110将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的()A.12B.13C.23D.1411将两个半径为 1 的铁球，熔化成一个大球，则这个大球的半径为()A2B.2C.3 2D.123 412.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中 ADBD 2，BAC30，若它们的斜边 AB 重合，让三角板 ABD 以 AB 为轴转动，则下列说法正确的是()当平面 ABD平面 ABC 时，C，D 两点间的距离为 2；在三角板 ABD 转动过程中，总有 ABCD；在三角板 ABD 转动过程中，三棱锥 D-ABC 的体积最大可达到
4、36.ABCD题号123456789101112 答案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13一个长方体的三个面的面积分别是 2，3，6，则这个长方体的体积为_14如图所示，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_15若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_cm3.16母线长均为 10 cm 的两个圆锥，它们的侧面展开图正好合成一个圆，且它们的表面积之比为 16，则这两个圆锥的底面半径分别为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字
5、说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)将圆心角为 120，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积18(本小题满分 12 分)如图是某几何体的三视图(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积19(本小题满分 12 分)已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ABBCCA2，求球的表面积20(本小题满分 12 分)如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积21(本小题满分 12 分)如图所示，已知等腰梯形 ABCD 的上底 AD2 cm，下底 BC10 cm，底角A
6、BC60，现绕腰 AB 旋转一周，求所得的旋转体的体积22(本小题满分 12 分)有一块扇形铁皮 OAB，AOB60，OA72 cm，要剪下来一个扇环形 ABCD，作圆台容器的侧面，并且在余下的扇形 OCD 内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面)试求：(1)AD 应取多长？(2)容器的容积为多大？参考答案与解析1解析：选 C.当俯视图为 A 中正方形时，几何体为棱长为 1 的正方体，体积为 1；当俯视图为 B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为 1 的圆柱，体积为4；当俯视图为 C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1，体积为
7、12；当俯视图为 D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为4.2解析：选 C.设正方体棱长为 a，则 6a272，a2 3，Va324 3.3导学号：69960008 解析：选 C.设木星的半径为 R，地球的半径为 r，则43R343r3240 30，即 R3240 30r3所以 Rr3 240 30S木S地4R24r2r3 240 30r23 240 30223 30 302430120.4解析：选 C.长方体的体对角线长 3242525 2，设球的半径为 r，则 2r5 2，所以 r5 22，所以 S 表4r250.5解析：选 D.设球的半径为 R，截面圆的半径为 r，所得截面圆的半径为
8、 r1，因此球的半径 R 1212 2，球的体积为43R38 23.6导学号：69960009 解析：选 B.由三视图可还原几何体的直观图如图所示设 A1E 垂直于底面，割出三棱柱 AEA1DFD1 补在右侧拼凑成一个长和宽均为 3，高为 3的长方体，所求体积 V33 39 3.7解析：选 A.设圆柱的母线长为 l，底面圆的半径为 r，则当 l2a 时，2ra，得 r a2，这时 V 圆柱2aa22a32；当 la 时，2r2a，得 ra，这时 V 圆柱a a2a3.因此圆柱的体积为a32或a3，故选 A.8导学号：69960010 解析：选 D.由已知可得圆锥的母线等于底面直径设底面半径为
9、r，则122r（2r）2r2S，所以 r2 S3，圆锥的侧面积S 侧r2r2r22 S32S3.9解析：选 D.V1V2(Sh)(13Sh)31.10解析：选 B.设正方体的棱长为 1，已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的体积都等于16，因此，截去的四个三棱锥的体积为23，则剩余的四面体的体积为13.11解析：选 C.43R32431，R3 2.12解析：选 B.取 AB 的中点 E，连接 DE，CE，则 DE平面 ABC，所以 DECE，且 DECE1，所以 CD 2，故正确；在转动过程中，AB 与 CD 始终不垂直，故错误；当平面 ABD平面 ABC 时，三棱锥的高最大，底面积
10、固定，故此时体积最大，最大值为13121 31 36，故正确，故选 B.13解析：设长方体的棱长分别为 a，b，c，则ab 2ac 3bc 6，三式相乘可知(abc)26，所以长方体的体积 Vabc 6.答案：614导学号：69960011 解析：在上面补上一个同样的几何体，则高为 ab.则所求体积为r2（ab）2.答案：r2（ab）215解析：根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体组合而成的几何体，每个长方体的体积为 9 cm3，故其体积为 18 cm3.答案：1816解析：设两圆锥的底面半径分别为 r1 cm，r2 cm，侧面展开图的圆心角分别为 n1，n2，则由 2r1n1
11、10180，2r2n210180，所以 r1r2（n1n2）51803605180 10.又由表面积之比为 16 得，(r21r110)(r22r210)16，即(r2110r1)(r2210r2)16.将 r210r1 代入得 r2118r1400，所以 r12 或 r120(舍去)，所以 r12，r28.答案：2 cm，8 cm17导学号：69960012 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为 l，圆锥的半径为 r，则120360l23，l3；23 32r，r1；S 表面积S 侧面S 底面rlr24，V13S 底h13122 22 23.18解：(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体
12、是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为 1，高为 2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为 1，母线长为 2，高为 3)，所以所求表面积为 S12212127，体积为 V1221312 32 33.19解：如图，由ABC 为正三角形，且边长为 2，所以 OA23 32 33.设球的半径为 R，所以 OO12R，所以 R212R22 332，所以 R43，所以 S 球4R2649.20导学号：69960013 解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面S 半球8，S 圆台侧35，S 圆台底25，故所求几何体的表面积为 8352568 cm2.由 V 圆台13(
13、22（22）（52）52)452(cm3)，V 半球432312163(cm3)，所以，所求几何体的体积为V 圆台V 半球52163 1403(cm3)21.解：梯形绕腰 AB 旋转一周所得的几何体是一个圆锥和一个圆台挖去一个小圆锥的组合体过 D 作 DEAB 于点 E，过 C 作 CFAB 于点 F.RtBCF 绕 AB 旋转一周形成以 CF 为底面半径，BC 为母线长的圆锥；直角梯形 CFED绕 AB 旋转一周形成圆台；直角三角形 ADE 绕 AB 旋转一周形成一个圆锥，那么梯形 ABCD绕 AB 旋转一周所得的几何体是以 CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以 A 为顶点，以 DE为底面半径的圆锥的组合体因为 AD2，BC10，ABC60，所以 BF5，ED 3，AE1，FC5 3，EF4，AB8.所以旋转后所得几何体的体积为V13BFFC213EF(DE2FC2DEFC)13AEDE2248(cm3).22解：(1)如图，设圆台上、下底面半径分别为 r、R，ADx，则 OD72x.由题意得2R60180 72，2r60180（72x），72x3R.所以 R12，r6，x36，所以 AD36 cm.(2)圆台所在圆锥的高 H 722R212 35，圆台的高 hH26 35，小圆锥的高 h6 35，所以 V 容V 大圆锥V 小圆锥13R2H13r2h504 35.