1、学案11函数与方程导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值自主梳理1函数零点的定义(1)对于函数yf(x) (xD)，把使yf(x)的值为_的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_2函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且_，那么函数yf(x)在区间_上有零点3二次函数yax2bxc (a0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)无交点零点个数4.二
2、分法对于区间a，b上连续不断的，且f(a)f(b)0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围为_探究点一函数零点的判断例1判断函数yln x2x6的零点个数变式迁移1(1)(2011南通调研)设f(x)x3bxc(b0)，且f()f()0，则方程f(x)0在1,1内根的个数为_(2)(2010烟台一模)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_探究点二用二分法求方程的近似解例2用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点的近似值(精确到0.1)变式迁移2用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参
3、考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060据此数据，可得f(x)3xx4的一个零点的近似值(精确到0.01)为_探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数，函数f(x)2ax22x3a，如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围变式迁移3若函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，求实数a的取值范围1全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴
4、交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点2求函数yf(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)f(b)0，且a1)的图象关于直线yb对称(b为常数)，则ab_.7(2010深圳一模)已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零
5、点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_8若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是下列四个函数中的_(填上正确的序号)f(x)4x1；f(x)(x1)2；f(x)ex1；f(x)ln(x0.5)二、解答题(共42分)9(12分)已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.10(14分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴有且只有一个交点若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由11(16分)设函数f(x)ax2bxc，且f(1)，3a2c2b，求证：(1)a0且3；
6、(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则|x1x2|.答案 自主梳理1(1)0(2)x轴零点2.f(a)f(b)或a1课堂活动区例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数yf(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧解方法一设f(x)ln x2x6，yln x和y2x6均为增函数，f(x)也是增函数又f(1)02640，f(x)在(1,3)上存在零点又f(
7、x)为增函数，函数在(1,3)上存在唯一零点故函数yln x2x6的零点个数为1.方法二在同一坐标系画出yln x与y62x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数yln x2x6只有一个零点变式迁移1(1)1(2)4解析(1)f(x)3x2b0，f(x)在1,1上为增函数，又f()f()0，f(x)在1,1内存在唯一零点，方程f(x)0有唯一根(2)由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)log3|x|0，得f(x)log3|x|，令yf(x)，ylog3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴下边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x0，xR的范围内共4个例2解题导引用
8、二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程解f(1)11110，f(x)在区间1,1.5存在零点取区间1,1.5作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间1,1.51.25f(1.25)01.25,1.3751.312 5f(1.312 5)01.312 5,1.343 75由上表可知，区间1.312 5,1.343 75的左右端点精确到0.1所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函数的一个零点近似值变式迁移21.5
9、6解析f(1.562 5)f(1.556 2)0，且区间1.556 2,1.562 5左右端点精确到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即为符合要求的零点例3解题导引函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，然后通过方程进行研究函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点解若a0，f(x)2x3，显然在1，1上没有零点，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.当a时，f(x)0的重根x1,1，当a时，f(x)0的重根x1,1，yf(x)恰
10、有一个零点在1,1上；当f(1)f(1)(a1)(a5)0，即1a5时，yf(x)在1,1上也恰有一个零点当yf(x)在1,1上有两个零点时，则，或，解得a5或a1或a.变式迁移3解方法一(换元)设2xt，则函数f(x)4xa2xa1化为g(t)t2ata1 (t(0，)函数f(x)4xa2xa1在(，)上存在零点，等价于方程t2ata10，有正实数根(1)当方程有两个正实根时，a应满足，解得：1a22；(2)当方程有一正根一负根时，只需t1t2a10，即a1；(3)当方程有一根为0时，a1，此时方程的另一根为1.综上可知a22.方法二令g(t)t2ata1 (t(0，)(1)当函数g(t)在
11、(0，)上存在两个零点时，实数a应满足，解得1a22；(2)当函数g(t)在(0，)上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数a应满足g(0)a10，解得a1；(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)a10，a1，此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a22.方法三f(x)存在零点方程a有实根因为(2x1)222.当且仅当2x1，即xlog2(1)时，上式取“”所以a22.课后练习区11解析因为f(1)30，所以f(x)在区间(1,0)上存在零点又f(x)在R上单调递增所以f(x)只有1个零点21或1解析求g(x)f(x)x的零点，即求f(x)x的根，或.解
12、得x1或x1.32解析令f(x)ln x62x，则f(1)ln 16240，f(2)ln 264ln 220，2x00，f(0)f(1)1；若0，即a，函数的零点是x2，不合题意，所以a(1，)5(0,1)解析在坐标系内作出函数f(x)的图象(如图)，发现0m1时，函数f(x)的图象与直线ym有3个交点，即g(x)f(x)m有3个零点62解析依题意有f(x)g(x)loga(2ax)(a2x)2b，所以有即有所以ab2.7x1x2x3解析令x2x0，即2xx，设y2x，yx；令xln x0，即ln xx，设yln x，yx.在同一坐标系内画出y2x，yln x，yx，如图：x10x21，所以x
13、1x2x3.8解析f(x)4x1的零点为x0.25，f(x)(x1)2的零点为x1，f(x)ex1的零点为x0，f(x)ln(x0.5)的零点为x1.5，现在我们来估算g(x)4x2x2的零点，因为g(0)1，g(0.25)0.086，(g(0.5)1，所以g(x)的零点x(0,0.5)，又函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)4x1的零点适合9证明令g(x)f(x)x.(2分)g(0)，g()f()，g(0)g()0，若存在实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可(3分)f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0.
14、所以a或a1.(5分)检验：当f(1)0时，a1.所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0.得x0或x1.方程在1,3上有两根，不合题意，故a1.(8分)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x，令f(x)0，即x2x0，解之得x或x3.方程在1,3上有两根，不合题意，故a.(12分)综上所述，a1.(14分)11证明(1)f(1)abc，3a2b2c0.又3a2c2b，3a0,2b0，b2c2b，3a3a2b2b.a0，30时，a0，f(0)c0且f(1)0，f(1)0，函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点综合得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(12分)(3)x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2bxc0的两根x1x2，x1x2.|x1x2|.(15分)3，|x1x2|.(16分)高考资源网w w 高 考 资源 网
