1、第2课时圆的参数方程核心必知如图，设圆O的半径是r，点M从初始位置M0(t0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，点M绕点O转动的角速度为，以圆心O为原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系(1)在t时刻，M转过的角度是，点M的坐标是(x，y)，那么t(为角速度)设|OM|r，那么由三角函数定义，有cos t，sin t，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻(2)若取为参数，因为t，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(为参数)其中参数的几何意义是：OM0(M0为t0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时
2、，OM0转过的角度问题思考1方程(为参数，02)是以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R为半径的圆的标准方程为x2y2R2，即221，令则2若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为(00)上，O为原点，x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为，以为参数求圆的参数方程精讲详析本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与之间的关系，然后写出参数方程如图所示，设圆心为O，连接OM当M在x轴上方时，MOx2.当M在x轴下方时，MOx2，即当M在x轴上时，对应0或.
3、综上得圆的参数方程为.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成的意义就改变了1设ytx(t为参数)，则圆x2y24y0的参数方程是_解析：把ytx代入x2y24y0得x，y，参数方程为答案： (t为参数) 考点2圆的参数方程的应用已知点P(2,0)，点Q是圆(为参数)上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？精
4、讲详析本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法解答本题需设出PQ的中点M的坐标为(x，y)，然后利用已知条件中的参数分别表示x，y，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状设中点为M(x，y)，即它是圆的参数方程，表示以(1,0)为圆心，以为半径的圆解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线2设点M(x，y)在圆x2y21上移动，求点Q(x(xy)，y(xy)的轨迹的参数方程解：设M(cos ，sin )(02)，点Q(x1，y1)，则(为参数)即为所求的参数方程已知点P(x，y)是圆(为参数)上的动点(1)求x
5、y的取值范围；(2)若xya0恒成立，求实数a的取值范围精讲详析本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x2y22y的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)(1)P在圆上，xycos sin 12sin1.21xy21.即xy的取值范围为1,3(2)xyacos sin 1a0，a(cos sin )1.又(cos sin )1sin11，a1，即a的取值范围为1，)(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性3设方程(为参数)表示的曲线为C
6、，求在曲线C上到原点O距离最小的点P的坐标解：OP2(1cos )2(sin )252sin 2cos 54sin.当2k，kZ时，OP最小，此时点P的坐标为.本节热点命题关注高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题考题印证已知圆C的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 1，则直线l和圆C的交点的直角坐标为_命题立意本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程解析由圆的参数方程知圆心的坐标为(0,1)，半径r1，由直线l的极坐标方程可知直线l的方
7、程为y1，则根据图象可知直线l和圆C的交点为(1,1)，(1,1)答案(1,1)，(1,1)一、选择题1圆心在点(1,2)，半径为5的圆的参数方程为()A.(02)B.(02)C.(0)D.(02)解析： 选D圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(0,2)故圆心在点(1,2)，半径为5的圆的参数方程为(02)2直线3x4y90与圆(为参数)的位置关系是()A相切 B相离C直线过圆心 D相交但不过圆心解析：选D圆的普通方程为x2y24，圆心坐标为(0,0)，半径r2，点(0,0)到直线3x4y90的距离为d0)，求点P到直线l距离的最大值解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos ，4sin )，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x(04cos )2cos ，y(04sin )2sin ，所以点P的坐标为(2cos ，2sin )，因此点P的轨迹的参数方程为(为参数，且02)(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为xy10，又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线xy10的距离为，所以点P到直线l距离的最大值为2.
