1、第1课时椭圆及其标准方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P32P36的内容，回答下列问题(1)阅读教材P32“探究”的内容，思考下列问题：移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？提示：是其距离之和始终等于线段的长度(2)观察教材P33图2.12.设M(x，y)，F1(c,0)，F2(c，0)，且|MF1|MF2|2a(ac)，则M点的轨迹方程是什么？提示：1.(3)观察教材P34“思考”设M(x，y)，F1(0，c)，F2(0，c)，且|MF1|MF2|2a(ac)，则M点的轨迹方程是什么？提示：1.2归纳
2、总结，核心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系a2b2c2问题思考(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2; 当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在(2)如图，你能从中找出表示a，b
3、，c的线段吗？提示：a|PF2|，b|OP|，c|OF2|.(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？提示：a，b的值及焦点的位置课前反思(1)椭圆的定义是：；(2)椭圆的标准方程是：；特点：；(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是：.知识点1对椭圆定义的理解讲一讲1已知椭圆1(ab0)，F1，F2是它的焦点过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求ABF2的周长尝试解答|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合PM|MF1|MF2|2a(其中|F1F2|2
4、c)表示的轨迹有三种情况：当ac时，集合P为椭圆；当ac时，集合P为线段F1F2；当a|F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以C正确，D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误故选C.2若椭圆1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A6 B7 C8 D9解析：选B依题意，得a5，|PF1|3，则|PF2|2a|PF1|1037.知识点2求椭圆的标准方程讲一讲2(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程尝试解答(1)法一：椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab
5、0)由椭圆的定义知2a 2，a.又c2，b2a2c21046.所求椭圆的标准方程为1.法二：设标准方程为1(ab0)依题意得解得所求椭圆的标准方程为1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则与ab矛盾，故舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.法二：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)椭圆过(2,0)和(0,1)两点，综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.类题通法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，
6、即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程练一练3求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以
7、设它的标准方程为1(ab0)因为2a10,2c6，所以a5，c3，所以b2a2c2523216.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26,2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆的标准方程为1.知识点3与椭圆有关的轨迹问题讲一讲3已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程尝试解答由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所
8、以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)类题通法解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法练一练4如图，圆C：(x1)2y216及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交
9、CQ于M，求点M的轨迹方程解：由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|4.又|AC|2，M点的轨迹为椭圆由椭圆的定义知，a2，c1，b2a2c23.所求轨迹方程为1.知识点4与焦点有关的三角形问题讲一讲4如图所示，P是椭圆1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且PF1F2120，求PF1F2的面积思路点拨由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解尝试解答由已知a2，b，得c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1
10、|242|PF1|，由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202.即PF1F2的面积是.类题通法对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量练一练5将本讲中“PF1F2120”改为“F1PF260”，求PF1F2的面积解：
11、由已知a2，b，得c1.|F1F2|2c2，在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60.4163|PF1|PF2|.|PF1|PF2|4.SPF1F2|PF1|PF2|sin 604.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题2对椭圆定义的理解易忽视“2a2c”这一条件，是本节课的易错点平面内到两定点F1，F2 的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是一条线
12、段F1F2；当2a3或6a5)，将点(3,2)代入，得a215，则所求椭圆的方程为1.故选B.3椭圆9x216y2144的焦点坐标为_解析：椭圆的标准方程为1，a216，b29，c27，且焦点在x轴上，焦点坐标为(，0)，(，0)答案：(，0)，(，0)4焦点在坐标轴上，且经过A(1,2)和B(，2)两点的椭圆的标准方程为_解析：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0且mn)，将点A(1,2)，B(，2)代入，得解得则所求椭圆的方程为1.答案：1题组2与椭圆有关的轨迹问题5已知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P，则PP的中点M的轨迹方程是()A4x2y21 Bx21C.
13、y21 Dx21解析：选A设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x，yy0.P(x0，y0)在圆x2y21上，xy1.将x02x，y0y代入方程，得4x2y21.6已知线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，|AB|5.点M是线段AB上的一点，且|AM|2，点M随线段AB的运动而变化，试求点M的轨迹方程解：依题意可得，设M(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则(xa，y)(x，by)，即解得又|AB|5，所以a2b225. 将代入，得1.于是点M的轨迹方程为1.题组3椭圆的定义及焦点三角形问题7若椭圆1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且F1PF290，则PF1F
14、2的面积为()A9 B12C15 D18解析：选A设|PF1|r1，|PF2|r2，则由F1PF290 且|F1F2|8，知rr64.又r1r210，可得r1r218，所以SPF1F2r1r29.8在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上则_.解析：由椭圆方程1知，a5，b3，c4，即点A(4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点又点B在椭圆上，|BA|BC|2a10，且|AC|8.于是，在ABC中，由正弦定理，得.答案：9已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若PF
15、1F2的面积为2，求点P坐标解：(1)由题意知，2c4，c2，|PF1|PF2|2|F1F2|8，即2a8，a4.b2a2c216412.椭圆的焦点在x轴上，椭圆的方程为1.(2)设点P坐标为(x0，y0)，依题意知，|F1F2|y0|2，|y0|，y0.代入椭圆方程1，得x02，点P坐标为(2，)或(2，)或(2，)或(2，)能力提升综合练1点P在椭圆1上一点，若以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标为()A. B.C. D.解析：选D由椭圆方程知c1，设点P的坐标为(x，y)，则SPF1F22c|y|y|1，所以y1，将y1代入椭圆方程，得1，解得x，所以点P的坐标为
16、.故选D.2已知椭圆1的一个焦点为F, 点P在椭圆上，如果线段PF的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是() A BC D解析：选D由题意知F(3,0)，设点P的坐标为(x，y)，因为线段PF的中点M在y轴上，则M且x3.又点P在椭圆上，则1，解得y2，即y，所以点M的纵坐标为.故选D.3已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1或 1C.1D.1或 1解析：选B由已知2c|F1F2|2，c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.4设F1
17、，F2是椭圆C：1的焦点，在曲线C上满足0的点P的个数为()A0 B2 C3 D4解析：选B0，PF1PF2.点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c2.b2，点P为该椭圆y轴的两个端点5F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是_解析：|OF2|c，由已知得，c24，c2.设点P的坐标为(x0，y0)，由POF2为正三角形，|x0|1，|y0|，代入椭圆方程得1.a2b24，b23(b24)b2(b24)，即b412，b22.答案：26椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于_解析
18、：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|MF2|10，知|MF2|1028.又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|MF2|4.答案：47.如图所示，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程解：由椭圆的定义知，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，得2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.8已知P是椭圆y21上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点(1)当F1PF260时，求F1PF2的面积；(2)当F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|PF2|4且F1(，0)，F2(，0)在F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60.由得|PF1|PF2|.所以SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2.(2)设点P(x，y)，由已知F1PF2为钝角，得0，即(x，y)(x，y)0.又y21，所以x22，解得x.所以点P横坐标的范围是.