1、第三节等比数列及其前n项和1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理一、等比数列的定义一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即q(nN*)，则这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)二、等比数列的通项公式若数列an为等比数列，则ana1qn1.三、等比数列的前n项和公式当q1时，Snna1，当q1时，Sn.四、等比中项如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G.五、等比数列
2、的主要性质1anamqnm(n，mN*)2对于任意正整数m，n，r，s，只要满足mnrs，则amanaras.3对于任意正整数p，r，s，如果pr2s，则apara2s.4对任意正整数n1，有a2nan1an1.5对于任意非零实常数b，ban也是等比数列6若an，bn是等比数列，则anbn也是等比数列7等比数列中，如果an0，则logaan是等差数列8若数列loga an成等差数列，则an成等比数列9若数列是等比数列，则数列a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比数列10若数列是等比数列，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等比数列，所以(S2mSm)2Sm(S3mS2m)基础自测
3、1. 若数列an是公比为4的等比数列，且a12，则数列log2an是()A公差为2的等差数列B公差为lg 2的等差数列C公比为2的等比数列D公比为lg 2的等比数列答案：A2设数列为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.解析：依题意得a4a52，a4，a5为方程4x28x30的两根，a4，a5或a4，a5，又q1，q3.a6a7(a4a5)q223218.答案：183若等比数列an满足anan116n，则公比为_解析：由anan116n得an1an216n1，两式相除得：16，q216，anan116n可知公比为正数，q4.答案：44在正项数列an中，a12
4、，点(，)(n2)在直线xy0上，则数列an的前n项和Sn_.解析：点(，)在直线xy0上，0，()n1()n，an2n，Sn2n12.答案：2n121(2013大纲全国卷) 已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B. (1310)C3(1310) D3(1310)解析：由3an1an0，得an0(否则a20)且，所以数列an是公比为的等比数列，代入a2可得a14，故S1033(1310)答案：C2(2013湖北卷)已知等比数列an满足：|a2a3|10，a1a2a3125.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1？若存在，求m的最
5、小值；若不存在，说明理由解析：(1)由已知条件得：a25，又a2|q1|10，q1或3，所以数列an的通项或an5(1)n25(1)n(nN*)或an53n2(nN*)(2)若q1，或0，不存在这样的正整数m；若q3，不存在这样的正整数m.1已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a35，a4a5a65，则a7a8a9()A10 B2 C8 D.解析：因为a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，公比为，所以a7a8a9(a1a2a3)q210.故选A.答案：A2(2013东北三省三校第一次联合模拟)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n(nN*)(1)求数列an的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出an的通项公式解析：(1)在Sn2an(1)n，n1中分别令n1,2,3得：解得(2)由Sn2an(1)n，n1得：Sn12an1(1)n1，n2，两式相减得： an2an12(1)n，n2，an2an1(1)n(1)n2an1(1)n1(1)n，an(1)n2(n2)，故数列是以a1为首项，公比为2的等比数列所以an(1)n2n1，即an2n1(1)n(nN*)