1、核心必知1顺序和、乱序和、反序和的概念设a1a2a3an，b1b2b3bn是两组实数，c1，c2，c3，cn是数组b1，b2，bn的任何一个排列，则S1a1bna2bn1anb1叫做数组(a1，a2，an)和(b1，b2，bn)的反序和；S2a1b1a2b2anbn叫做数组(a1，a2，an)和(b1，b2，bn)的顺序和；Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1，a2，an)和(b1，b2，bn)的乱序和2排序原理或排序不等式设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，那么，a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.
2、当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和问题思考1排序不等式的本质含义是什么？提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列2已知两组数a1a2a3a4a5，b1b2b3b4b5，其中a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511，将bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1a2c2a5c5的最大值和最小值分别为何值？提示：由顺序和最大知最大值为：a1b1a2b2a3b3a4b
3、4a5b5304，由反序和最小知最小值为：a1b5a2b4a3b3a4b2a5b1212.考点1用排序不等式证明不等式(所证不等式中的字母大小顺序确定)已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2).精讲详析本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式，构造数组，利用公式求解(1)ab0，于是，又c0，0，从而.同理，bc0，于是，a0，0，于是得.从而.(2)由(1)，于是由顺序和乱序和反序和得，.利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知abc，所以可直接利用已知构造两个数组1已知0，求证：sin cos
4、sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)证明：0，且ysin x在(0，)上为增函数，ycos x在(0，)上为减函数，0sin sin cos cos 0.根据排序不等式得：乱序和反序和sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)考点2用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.精讲详析本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设abc，再利用排序不等式加以证明由对称性，不妨
5、设abc，于是a12b12c12，故由排序不等式：顺序和乱序和，得.又因为a11b11c11，.再次由排序不等式：反序和乱序和，得.所以由得a10b10c10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系2设a1，a2，a3为正数，求证：a1a2a3.证明：不妨设a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和 乱序和得a2a3a3a1a1a2a3a1a2.即a1a2a3.考点3用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序需要加以讨论)设x0，求证：1xx2xn(2n1)xn.精讲详析
6、本题考查排序不等式的应用解答本题需要注意：题目中只给出了x0，但对于x1，x1没有明确，因此需要进行分类讨论(1)当x1时，1xx2xn，由排序原理：顺序和反序和，得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因为x，x2，xn,1为序列1，x，x2，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和反序和，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，得xx3x2n1xn(n1)xn.将和相加得1xx2x2n(2n1)xn.(2)当0xxx2xn，但仍然成立，于是也成立综合(1)(2)，证毕在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定
7、字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体情况分类讨论3设a1，a2，an是1,2，n的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立本节热点命题关注排序不等式在证明不等式中的应用是本节课的重点知识本考题以填空题的形式考查了排序不等式在求最值中的应用，是高考命题的一个新亮点考题印证若a，b，c为正数，则的最小值为_命题立意本题考查排序不等式在求最值中的应用，考查学
8、生变形求解的能力解析由对称性，不妨设abc0.则abacbc.由排序不等式得，23，.答案一、选择题1锐角三角形中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P、Q的关系为()APQBPQCPQ D不能确定解析：选C不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.2已知a，b，c为正数，P，Qabc，则P、Q的大小关系是()APQ BPQ
9、CP0，则0，00，abc0，于是abc，即PQ.3已知a，b，cR，则a3b3c3与a2bb2cc2a的大小关系是()Aa3b3c3a2bb2cc2aBa3b3c3a2bb2cc2aCa3b3c30，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.二、填空题5若a，b，cR，则_abc.解析：不妨设abc0，则bccaab，.abc.答案：6设正实数a1，a2，an的任一排列为a1，a2，an，则的
10、最小值为_解析：不妨设0a1a2a3an，则.其反序和为n，则由乱序和不小于反序和知n，的最小值为n.答案：n7设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a12a23a34a4的取值范围是_解析：a12a23a34a4的最大值为1222324230.最小值为1423324120.a12a23a34a4的取值范围是20,30答案：20,308已知：abc1，a、b、c为正数则的最小值是_解析：不妨设abc.得.答案：三、解答题9设a、b、c为正数，求证：.证明：不妨设0abc，则a3b3c3.00.由不等式的单调性，知，而.由不等式的性质，知a5b5c5.根据排序原理，知.又由不等式
11、的性质，知a2b2c2，.由排序原理，得.由不等式的传递性，知.原不等式成立11设a，b，c为某一个三角形的三条边，abc，求证：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.证明：(1)用比较法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因为bc，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可证b(cab)a(bca)综合，证毕(2)由题设及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式：反序和乱序和，得a2(bca)b
12、2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3abcab(ba)bc(cb)ca(ac)再一次由反序和乱序和，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ac(bca)ba(cab)cb(abc)3abcac(ca)ab(ab)bc(bc)将和相加再除以2，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.一、选择题1锐角三角形中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P、Q的关系为()APQBPQCPQ D不能确定解析：选C不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos
13、Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.2已知a，b，c为正数，P，Qabc，则P、Q的大小关系是()APQ BPQCP0，则0，00，abc0，于是abc，即PQ.3已知a，b，cR，则a3b3c3与a2bb2cc2a的大小关系是()Aa3b3c3a2bb2cc2aBa3b3c3a2bb2cc2aCa3b3c30，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.
14、a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.二、填空题5若a，b，cR，则_abc.解析：不妨设abc0，则bccaab，.abc.答案：6设正实数a1，a2，an的任一排列为a1，a2，an，则的最小值为_解析：不妨设0a1a2a3an，则.其反序和为n，则由乱序和不小于反序和知n，的最小值为n.答案：n7设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a12a23a34a4的取值范围是_解析：a12a23a34a4的最大值为1222324230.最小值为1423324120.a12a23a34a4的取值范围是20,30答案：20,308
15、已知：abc1，a、b、c为正数则的最小值是_解析：不妨设abc.得.答案：三、解答题9设a、b、c为正数，求证：.证明：不妨设0abc，则a3b3c3.00.由不等式的单调性，知，而.由不等式的性质，知a5b5c5.根据排序原理，知.又由不等式的性质，知a2b2c2，.由排序原理，得.由不等式的传递性，知.原不等式成立11设a，b，c为某一个三角形的三条边，abc，求证：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.证明：(1)用比较法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因为bc，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可证b(cab)a(bca)综合，证毕(2)由题设及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式：反序和乱序和，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3abcab(ba)bc(cb)ca(ac)再一次由反序和乱序和，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ac(bca)ba(cab)cb(abc)3abcac(ca)ab(ab)bc(bc)将和相加再除以2，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.
