1、第2课时球坐标系核心必知1球坐标系建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角.这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0,0，02.在测量实践中，球坐标中的角称为被测点P(r，)的方位角，90称为高低角2空间直角坐标与球坐标的转化空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为
2、问题思考1在球坐标系中，方程rr0(r0为正常数)表示什么图形？提示：在空间的球坐标系中，方程rr0(r0为正常数)表示球心在原点，半径为r0的球面2在球坐标系中，方程0(002)表示什么图形？提示：在球坐标系中，方程0(00，y0)，从而知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，)，再利用变换公式求出r、，代入点的球坐标即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos .特别注意由直角坐标求球坐标时，和的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误2设点M的直角坐标为，求它的球坐标解：由变换公式得r 1，由rcos z得cos ，.又tan (x0，y0)
3、，得.M的球坐标为. 考点3球坐标系的应用在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系有A、B两个城市，它们的球坐标分别为AR，BR，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程精讲详析本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离问题解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法如图所示，因为AR，B，可知AOO1O1OB，O1AOO1BO.又EOC，EOD，COD.AO1BCOD.在RtOO1B中，O1BO，OBR，O1BO1AR.AO1B，ABR.在AOB中，ABOBOAR，AOB.故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为R.我们根据A、B
4、两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A、B两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A、B两地的球面距离3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B，求出这两个截面间的距离解：由已知，OAOB8，AOO1，BOO1，在AOO1中，OO14.在BOO2中，BOO2，OB8，OO24，则O1O2OO1OO28.即两个截面间的距离O1O2为8.本节热点命题关注本课时考点在近几年的高考中未出现过本考题以空间两点间的距离为载体考查了空间直角坐标与球坐标的转化考题印证在球坐标系中A和B2，的距离为_命题立意本题考查空间球坐标与直角坐标的转化及空间两
5、点间的距离公式解析A、B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)、B(1,1，)|AB|2.答案2一、选择题1已知一个点的球坐标为，则它的高低角为()A B. C. D.解析：选A，它的高低角为.2已知一个点的球坐标为，则它的方位角为()A. B. C. D.解析：选A，即它的方位角为.3点P的球坐标为，则它的直角坐标为()A(1,0,0) B(1，1,0) C(0，1,0) D(1,0,0)解析：选Dxrsin cos 1sin cos 1，yrsin sin 1sin sin 0，zrcos 1cos 0，它的直角坐标为(1,0,0)4在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为()A. B.
6、C. D.解析：选Brcos .tan .又y0，x0，.球坐标为.二、填空题5以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示，若某地在西经60，南纬45，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为_解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.答案：6已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_解析：由坐标变换公式得xrsin cos 4sincos2，yrsin sin 4sinsin2，zrcos 4cos2.它的直角坐标为(2,2,2)由公式得2(2)2228，2.cos ，sin ，又0,2，.即它
7、的柱坐标是.答案：(2,2,2)7设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为_解析：由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1，又x0，y0，0，.将曲线4x29y236变成曲线x2y21的伸缩变换为10.如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)使得|PM|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(2,0)，O2(2,0)设P(x，y)，则|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|
8、PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2.即(x2)2y212(x2)2y21即x212xy230.即动点P的轨迹方程为(x6)2y233.11在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上运动，且满足，求动点P的轨迹方程解：(1)如图所示，设M(，)为圆C上任意一点，如图，在OCM中，|OC|3，|OM|，|CM|1，COM，根据余弦定理，得12923cos ，化简整理，得26cos80为圆C的轨迹方程(2)设Q(1，1)，则有61cos80.设P(，)，则OQQP1(1)231，又1，即代入得2
9、6cos80，整理得215cos500为P点的轨迹方程阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在极坐标系中有如下三个结论：点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；tan 1与表示同一条曲线；3与3表示同一条曲线在这三个结论中正确的是()A BC D解析： 选D点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tan 1能表示和两条射线；3和3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，只有成立2已知点P的直角坐标为(1，)，则点P的极坐标为()A. B.C. D.解析： 选C因为点P(1，)
10、在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴正半轴所成的角为，所以点P的一个极坐标为，故选C.3可以将椭圆1变为圆x2y24的伸缩变换为()A. B.C. D.解析：选D法一：将椭圆方程1化为4，224.令得x2y24，即x2y24.伸缩变换为所求法二：将x2y24改写为x2y24，设满足题意的伸缩变换为代入x2y24得2x22y24，即1.与椭圆1比较系数得解得伸缩变换为即4在极坐标系中，与圆4sin 相切的一条直线方程为()Asin 2 Bcos 2Ccos 4 Dcos 4解析： 选B如图所示，圆C的极坐标方程为4sin ，COOx，OA为直径，|OA|4，l和圆相切，l交极轴于B(2,0
11、)，点P(，)为l上任意一点，则有cos ，得cos 2.5圆5cos 5sin 的圆心坐标是()A. B.C. D.解析： 选A化为直角坐标方程后求得圆心的直角坐标为，故极坐标为.6极坐标方程cos 与cos 的图形是()解析： 选Bcos 两边同乘以得2cos 化为直角坐标方程为x2y2x0表示圆，cos 表示过点与极轴垂直的直线. 7曲线与6sin 的两个交点之间的距离为()A1 B.C3 D6解析：选C极坐标方程，6sin 分别表示直线与圆，如图所示，圆心C，AOC，|AO|23cos 63.8点M关于直线(R)的对称点的极坐标为()A. B.C. D.解析：选A法一：点M关于直线(R
12、)的对称点为，即.法二：点M的直角坐标为，直线(R)，即直线yx，点关于直线yx的对称点为，再化为极坐标即.9圆4cos 的圆心到直线tan 1的距离为()A. B. C2 D2解析：选B圆4cos 的圆心C(2,0)，如图，|OC|2，在RtCOD中，ODC，COD，|CD|.10圆r与圆2rsin(r0)的公共弦所在直线的方程为()A2(sin cos )rB2(sin cos )rC.(sin cos )rD.(sin cos )r解析：选D圆r的直角坐标方程为x2y2r2，圆2rsin2rr(sin cos )两边同乘以得2r(sin cos )，xcos ，ysin ，2x2y2，x
13、2y2rxry0.整理得(xy)r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程再将直线(xy)r化为极坐标方程为(cos sin )r.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos 0,00)的一个交点在极轴上，则a_.解析：曲线C1的直角坐标方程为xy1，曲线C2的直角坐标方程为x2y2a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a.答案：三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点P是圆x2y2
14、1上的一个动点，且AOP的平分线交PA于点Q，如图所示，求Q点的轨迹的极坐标方程解：以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(，)，P(1，2)如图所示SOQASOQPSOAP，3sin sin sin 2.cos .16(12分)极坐标方程cos 与cos1表示的两个图形的位置关系是什么？解：cos 可变为2cos ，化为普通方程为x2y2x，即2y2，它表示圆心为，半径为的圆将cos1化为普通方程为xy20，圆心到直线的距离为1，直线与圆相离17(12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解：在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(
15、1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .18(14分)已知线段BB4，直线l垂直平分BB，交BB于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P，使OPOP9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线BP的交点M的轨迹方程解：以O为原点，BB为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B(0，2)，设P(a，0)(a0)，则由OPOP9，得P，直线BP的方程为1，直线BP的方程为1，即lBP：2xay2a0，lBP：2ax9y180.设M(x，y)，则由解得(a为参数)消去a，可得4x29y236(x0)，所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B)
