1、第63讲复数考试要求1.复数的概念(B级要求)，复数的几何意义(A级要求)，复数的四则运算(B级要求)；2.高考中对本讲的考查仍以填空题为主，难度不大，围绕复数的基本概念、基本运算进行考查.诊 断 自 测1.(2016全国卷改编)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a_.解析(12i)(ai)a2(2a1)i，a22a1，解得a3.答案32.(选修22P105习题2改编)已知复数z(m2m)(m22m3)i(mR)是一个纯虚数，那么m_.解析由解得m0.答案03.(2018泰州模拟)已知复数z满足(3i)z10i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是_.解析复数z13i，则复
2、数z的共轭复数是13i.答案13i4.(选修22P109练习1改编)复数z在复平面内对应的点所在象限为第_象限.解析zi.答案四5.i2 011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_.解析原式i3i4i1i2i3i4i1.答案1知 识 梳 理1.复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR).(4)共轭复数：abi与cdi共轭
3、ac，bd(a，b，c，dR).(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR).2.复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.考点一复数的概念【例11】 (1)(2018无锡模拟)若复数z(1i)(m2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为_.(2)若z1(m2m1)(m2m
4、4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的_条件.(3)(2016天津卷)i是虚数单位，复数z满足(1i)z2，则z的实部为_.解析(1)zmmi2i2(m2)(2m)i.z为纯虚数，m2.(2)由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件.(3)(1i)z2，z1i，其实部为1.答案(1)2(2)充分不必要(3)1【例12】 (2017全国卷改编)设有下面四个命题p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为_.解析p1：设zabi(a，bR)，则R，得到b0，
5、所以zR，故p1正确；p2：若z21，满足z2R，而zi，不满足zR，故p2不正确；p3：若z11，z22，则z1z22，满足z1z2R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；p4：因复数zR，所以z的虚部为0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确.答案p1，p4规律方法解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.【训练1】 (1)(2018苏北四市期中)复数z(1i)
6、(32i)的虚部为_.(2)(2017盐城三模)若复数z(xi)(1i)是纯虚数，其中x为实数，i为虚数单位，则z的共轭复数_.解析(1)因为z(1i)(32i)32i3i2i25i，所以虚部为1.(2)因为z(xi)(1i)x1(x1)i是纯虚数，所以x1，故z2i，从而2i.答案(1)1(2)2i考点二复数的运算【例21】 (1)(2016全国卷改编)若z12i，则_.(2)(2016北京卷改编)复数_.(3)_.解析(1)z12i，z 5，i.(2)i.(3)原式i61i.答案(1)i(2)i(3)1i【例22】 (1)(2016山东卷改编)若复数z满足2z32i，其中i为虚数单位，则z
7、_.(2)(2016全国卷改编)若z43i，则_.解析(1)设zabi(a，bR)，则abi，2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i.(2)z43i，|z|5，i.答案(1)12i(2)i规律方法(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；i；i；bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).【训练2】 (1)(2018常州模拟)若i为虚数单位，复数z12i，则_.(2)_.(3)_.解析(1)因为z12i，所以z2(12i)
8、234i，|z|，所以i.(2)i2 017i.(3)ii1 008(1i)i.答案(1)i(2)i(3)i考点三复数的几何意义【例3】 (1)ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的_.(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：，所表示的复数；对角线所表示的复数；B点对应的复数.(1)解析由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心.答案外心(2)解，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.，所表示的复数为(32i)(24i)52i.，所
9、表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.规律方法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.【训练3】 (1)求满足|z1|2的复数z对应的点的轨迹.(2)求满足等式|zi|zi|3的复数z对应的点的轨迹.解(1)复数z对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心、2为半径的圆.(2)因为|zi|zi|3，故由复数模的几何意义得z对应的点到定点(0，1)和(0，1)的距离之和为3，满足椭圆的定义，所以复数z对应的点的轨迹为椭圆.一、必做题1.(2017全国卷)_.解析2i.答案2i2
10、.(2018苏北联考)如果复数1，ai，3a2i(aR)成等比数列，那么a的值为_解析由题意知(ai)21(3a2i)，即a212ai3a2i，解得a2.答案23.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是_.解析由题图知复数z3i，2i.表示复数的点为H.答案H4.(2017山东卷)已知aR，i是虚数单位.若zai，z4，则a_.解析由已知得(ai)(ai)4，a234，解得a1.答案15.已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_.解析由于复数z的实部为a，虚部为1，且0a2，所以由|z|，得1|z|2，点(a，b)在圆x2y22外.答案点在圆外7.复
11、数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_.解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，故3m20且m10，mb，则aibi；若aR，则(a1)i是纯虚数；若zi，则z31在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号).解析由复数的概念及性质知，错误；错误；若a1，则(a1)i0，错误；z31(i)31i1，正确.答案12.复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值.解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.13.计算：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.二、选做题14.若虚数z同时满足下列两个条件：(1)z是实数；(2)z3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.解这样的虚数存在，z12i或z2i.设zabi(a，bR且b0)，zabiabii.z是实数，b0.又b0，a2b25.又z3(a3)bi的实部与虚部互为相反数，a3b0.由得解得或故存在虚数z，z12i或z2i.
