1、第2课时函数的极值与导数核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P26P29的内容，回答下列问题(1)观察教材P27图1.38，函数yh(t)在ta处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？yh(t)在此处的导数值是多少？在这个点的附近，yh(t)的导数的符号有什么规律？提示：函数yh(t)在ta处的函数值比它附近的函数值都大，此处的导数为0，左侧h(t)0，右侧h(t)0.(2)观察教材P27图1.310和图1.311，函数yf(x)在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？yf(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的
2、符号有什么规律？提示：函数yf(x)在a，c，e，g的函数值比它附近的函数值都小，在b，d，f，h处的函数值比它附近的函数值都大；yf(x)在这些点的导数值都是0；在a，c，e，g点的左侧f(x)0；在b，d，f，h点的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值问题思考(1)函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，课本P27图1.311中c处的极小值大于f处的极大值(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：
3、一个x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点. x1、x3是极大值点(3)已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？提示：当f(x0)0，且在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0时，f(x0)是极大值；当f(x0)0，且在x0附近的左侧f(x)0时，f(x0)是极小值(4)导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点所以，当f(x0)0时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反(5)函数yf(x)在给定区间
4、(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数yf(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点课前反思(1)函数的极大值、极小值的定义是：(2)函数的极大值点、极小值点的定义是：(3)求函数yf(x)的极值的方法是什么？.知识点1求函数的极值讲一讲1(链接教材P28例4)求下列函数的极值：(1)f(x)x2ex; (2)y.尝试解答(1)函数的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0.当x2时，函数有极大值，且f(2).(2)函数y的定义域为(0，)
5、，y.令y0，即0，得xe.当x变化时，y，y的变化情况如下表：由表可知，当xe时，函数有极大值.类题通法求可导函数f(x)的极值的步骤为：(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数f(x)；(3)令f(x)0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值练一练1求下列函数的极值：(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)2.解：(1)函数的定义域为R，f(x)x22x3.令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x
6、)，f(x)的变化情况如下表：x1是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点f(x)极大值，f(x)极小值6.(2)函数的定义域为R，f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可以看出：当x1时，函数f(x)有极小值，且f(1)23；当x1时，函数f(x)有极大值，且f(1)21.知识点2已知函数的极值求参数讲一讲2已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值尝试解答yf(x)在x1时有极值为0，且f(x)3x26axb，即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，yf(x)在R上为增函数，无极值，故舍去
7、当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，f(x)在x1处取极小值且f(1)0.a2，b9.类题通法解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零和极值这两个条件来建立关于参数的方程，从而求出参数的值需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否满足函数取得极值的条件练一练2已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解：f(x)3ax2
8、2bxc，(1)法一：x1是函数的极值点，x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系知又f(1)1，abc1，由解得a，b0，c.法二：由f(1)f(1)0，得3a2bc0，3a2bc0，又f(1)1，abc1，由解得a，b0，c.(2)f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)当x1时f(x)0，当1x1时，f(x)0.函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数当x1时，函数取得极大值，x1为极大值点；当x1时，函数取得极小值，x1为极小值点.知识点3含参数的函数的极值问题讲一讲3求函数f(x)x33axb(a0)的极值思路点拨分类讨论a取不同值时，函数的单
9、调性，进而求极值尝试解答f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值；当a0时，令f(x)0，得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：f(x)的极大值为f()2ab，极小值为f()2ab.类题通法利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论练一练3设函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(
10、1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间为(，1m)，(1m，)，递增区间为(1m,1m)函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2. 课堂归纳感悟提升1本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数难点是含参数的函数的极值问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)求函数的极值，见讲1；(2)已知函数的极值求参数，见讲2；(3)含参数的函数极值问题的求解，见讲
11、3.3函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)符号相反，这是本节课的易错点课下能力提升(六)学业水平达标练题组1求函数的极值1已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2 C4 D2解析：选D由题意可得f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：函数f(x)在x2处取得极小值，则a2.故选D.2函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5，极小值27B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值D极小值27，无极大值解析：选C由y3x26x90，得x
12、1或x3.当x3时，y0；当1x3时，y0；当x(1,2)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点，分别为1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值只有不正确答案：题组2已知函数的极值求参数4函数f(x)ax3bx在x1处有极值2，则a，b的值分别为()A1，3 B1,3 C1,3 D1，3解析：选Af(x)3ax2b，由题意知f(1)0，f(1)2，a1，b3.5若函数f(x)x22bx3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()Ab1 C0b1 Db解析：选Cf(x)2x2b2(xb)，令f(x)0，解得xb，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0b1
13、.当0xb时，f(x)0；当bx0，符合题意所以实数b的取值范围是0b0.即a2a20，解之得a2或a0，函数g(x)单调递增；当a0时，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，函数g(x)单调递减所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意当0a1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0,1)时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小
14、值，不合题意当a时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，即3x(x2)0，解得x2，令y0，即3x(x2)0，解得0x0，解得x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值f(1)1.2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D2或解析：选A由题意知，f(x)3x22axb，f(1)0，f(1
15、)10，即解得或经检验满足题意，故，故选A.3若函数yx32axa在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是()A(0,3) B(，3)C(0，) D.解析：选Df(x)3x22a，f(x)在(0,1)内有极小值没有极大值，即0a.4.已知可导函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线为l：yg(x)(如图)，设F(x)f(x)g(x)，则()AF(x0)0，xx0是F(x)的极大值点BF(x0)0，xx0是F(x)的极小值点CF(x0)0，xx0不是F(x)的极值点DF(x0)0，xx0是F(x)的极值点解析：选B由题图知可导函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线为l：
16、yg(x)，又F(x)f(x)g(x)在x0处先减后增，F(x0)0，xx0是F(x)的极小值点故选B.5已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c_.解析：设f(x)x33xc，对f(x)求导可得，f(x)3x23，令f(x)0，可得x1，易知f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.答案：2或26若函数f(x)x2lnx1在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存在极值，则实数a的取值范围是_解析：f(x)x2lnx1的定义域为(0，)，f(x)2x，函数f(x)x2lnx1在其定义域内的一个子区间(
17、a1，a1)内存在极值，f(x)在区间(a1，a1)上有零点，而f(x)的零点为，故(a1，a1)，故a1a1，解得a0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)8求函数f(x)x33x2a(aR)的极值，并讨论a为何值时函数f(x)恰有一个零点解：f(x)3x26x，函数f(x)的定义域为R，由f(x)0得x0或x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，函数在x0处有极大值，极大值为f(0)a；在x2处有极小值，极小值为f(2)4a.函数yf(x)恰有一个零点即yf(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，所以或即或解得a0，所以当a0或a4时，函数f(x)恰有一个零点