1、第 1页，共 12页湖南师大附中 2023 年上学期高一期末测试卷数学命题：高一数学备课组审题：高一数学备课组时量：120 分钟满分：150 分一.选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】全集，故选 A2.已知复数=52(是虚数单位)，则=()A.2 B.2+C.2+D.2 【来源】改编教材 P94 复习参考题 7 T1（2）【答案】C【解析】=52=5(2)(2+)(2)=1055=2 ，=2+.故选：3.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则=()A
2、.34 14 B.14 +34 C.14 34 D.34 +14【来源】改编教材 P27 6.3.1 平面向量基本定理练习题 T2【答案】C【解析】画出图形，如下图选取,为基底，则=12 =14 =14(+)，=14(+)=14 34 故选 C4.某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取的学生进行调查，其中被抽取的小学生有人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为()#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 2页，共 12页A.，B.，1050C.
3、，D.，1050【来源】教材例题改编【答案】D【解析】由分层抽样的概念可得样本容量为，则该地区的初中生有20035%2%=3500 人，所以该地区的初中生近视人数为 3500 30%=1050.故选 D5.下列说法不正确的是（）A.若直线 平面，则直线与平面内的任意一条直线都无公共点B.若 =,=，且 ，则 C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行【来源】教材汇编【答案】B.【解析】A 项：直线与平面平行没有公共点，故直线与平面内任意一条直线都无公共点，A 项正确；B 项：和有可能平行，有可能相交，B 项错误；C 项：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们
4、的交线平行，由两组这样的交线平行即可证明面面平行，C 项正确；D 项：直线与平面垂直的性质定理，D 项正确；故选 B.6.函数 =sin ln 1+1的大致图象为()A.B.#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 3页，共 12页C.D.【答案】D【解析】解：函数()=1+1的定义域为(,1)(1,+)，由()=()1+1=+11=1+1=()，则()为偶函数，图象关于轴对称，故排除，又(3)=3 12 30000，故 5ln300ln10=5lg300=5 (lg3+2)12.39 12，所以教师用户超过 20000 名
5、至少经过 13 天故选：8.如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为()A.116B.316C.34D.1316#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 4页，共 12页【来源】自主作业本练习题【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，下边的 2 个都开且上边的 2 个中有一个开另一个闭，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为12 12 12 12+12 12 12 12+12 12 12 12=316，所以灯泡亮的概率为 1 316=131
6、6，故选 D二.选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.一组样本数据1,2,6，其中1是最小值，6是最大值，则()A.2,3,4,5的平均数等于1,2,6的平均数B.2,3,4,5的第 60 百分位数等于1,2,6的第 60 百分位数C.2,3,4,5的标准差小于1,2,6的标准差D.2,3,4,5的极差不大于1,2,6的极差【来源】改编 2023 年新高考一卷 T9【答案】BD【解析】对于：不妨令2=3=4=5=5,1=1,6=6，则2+3+4+54 1+2
7、+3+4+5+66=2+3+4+52 1+612=12 0，故 A 错误；对于:不妨令2 3 4 5，因为 4 0.6=2.4，则2,3,4,5的第 60 百分位数是4；因为1是最小值，6是最大值，且 6 0.6=3.6，故1,2,3,4,5,6的第 60 百分位数依然是4，故 B 正确；对于：C 错误；对于：设2,3,4,5中最小值为2，最大值为5，则1 2,5 6，则5 2 6 1，故 D 正确；故选 BD10.已知 ，则下列不等式一定成立的有()A.12 1C.2023 2023D.lg 1【答案】BC【解析】由 得#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIg
8、GQBAcoEAACQFABCA=#第 5页，共 12页A.令=1，=1，则 12=12，故选项 A 错误；B.因为 ，所以 0，所以 0=1，故选项 B 正确；C.因为()=2023为上递增函数，由 得2023 2023，故选项 C 正确；D.由 0 得 lg()，故选项 D 错误故选 BC11.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是()A.B.事件与事件互斥C.事件与事件相互独立D.P A B=34【来源】教材习题改编【答
9、案】C D【解析】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有，四个基本事件，则，不正确；事件含有的基本事件有个：，其中事件发生时，事件也发生，即事件，可以同时发生，不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有个，即事件与事件相互独立，C 正确；，正确故选 C12.如图，在边长为 4 的正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上的动点，将,分别沿,折起，使,两点重合于点,则下列结论正确的是（）A.B.到平面的距离为23C.若 面，则二面角 的余弦值为63D.四面体 外接球表面积为 24【来源】源于教材，选项改编【答案】ACD.【解析】A 项：连,可知 .又因为 ,=，所以 面，所以 .又因为 =
10、，所以 面，所以 ，故 A 项正确；#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 6页，共 12页B 项：因为=2,=2 2，所以为，所以 ，故=13 2 2 12 4=83.又因为=正方形 =42 12 2 2 12 2 4 12 2 4=6，故到面的距离=3=86=43（等体积法），故 B 项错误；C 项：令 =，连,.因为 面,面，面 面=，所以=1,=3.又因为 面，所以 ,，所以即为二面角 的平面角.又因为 面，所以 ，故在中，=2+2=1+2=3.又因为=3 2，故在中，由余弦定理的推论：cos =2+222=3+1
11、892 33 2=63，故二面角 的余弦值为63，C 项正确；D 项：由于,两两互相垂直，不妨将三棱锥 放置于一个长宽均为 2、高为 4 的长方体中，其外接球半径=22+22+422=6，故其表面积=42=24，D 项正确；故选 ACD.三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知(+4)=1010，则 sin2=【来源】改编 2009 年湖南省高考真题【答案】45【解答】sin2=cos(2+2)=1 2cos2(+4)=45，故答案为4514.以棱长为 1 的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，那么这个正八面体的表面积是.【来源】教材改编【答案】3.【解
12、析】由正方体的棱长为 1 易得正八面体的棱长为22，故其表面积=8 34 2=3，故答案为 3.#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 7页，共 12页15.一个袋子中有大小和质地相同的 5 个小球，其中有 3 个红色球、2 个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球，则两个球颜色相同的概率为.【来源】教材习题改编【答案】25【解析】用 1、2、3 表示 3 个红色球，4、5 表示 2 个绿色球，用数组,表示可能的结果，是第一次摸到球的标号，是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为：1,2,1,3,1,4,1,
13、5,2,1,2,3,2,4,2,5,3,1,3,2,3,4,3,5,4,1,4,2,4,3,4,5,5,1,5,2,5,3,5,4，共 20 个.其中两个球颜色相同的事件有：1,2,1,3,2,1,2,3,3,1,3,2,4,5,5,4，共 8 种,故所求事件的概率为820=25.16.在 中，=(2,+5),=(cos,sin),(,)，若对任意的实数，|恒成立，则边的最小值是【来源】改编 2021 年江浙地区月考题【答案】19【解答】设=，如图，对任意的实数，|恒成立则|=|=|恒成立，,=(2,+5),=(cos,sin)，|=5(+1)2+20，|=1，|=2 220 1=19，故答案
14、为19三、解答题：本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥 中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面 底面,是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与底面所成角的正弦值.【解析】（1）侧面为正三角形，为中点，.1 分又底面为正方形 .2 分又面 面且面 面=,面，.又 =，面.5 分（2）取的中点，连,.同（1）理：面，则是所求直线与平面所成角.6 分#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 8页，共 12页不妨设=2，则在正中，=3；在中，=2+2=5；在中，=2 2.
15、8 分故sin =32 2=64，.9 分所以直线与底面所成角的正弦值为64.10 分18.已知在 中，+=2，2sin =sin(1)求 sin；(2)设=2 7，求 的面积【来源】改编 2023 年新高考一卷 T17【解析】(1)+=2，+=3.1 分又 2()=()=(+)2 sincos cossin=sincos+cossin sin cos =3cos sin ，即12 sin=332 cos，.3 分又sin2+cos2=1 且 0,2，解得：sin=3328=32114.6 分2 因为 sin=sin +=3 2114 12+714 32=217，.8 分由正弦定理sin =s
16、in =sin，代入得3 2114=217=2 732，=6，=4;.10 分故=12 sin =12 6 4 32=6 3.12 分19.已知向量=(4sin2 2 1,cos(3 )，=(1,2)，记函数()=(1)求使函数()0 成立的的取值集合；(2)已知,均为锐角，(+6)=135,sin()=1213，求 sin(2 )的值【来源】改编 2022 年江苏省、安徽省月考卷，第一小问源于教材 P255 复习参考题 5 T21(3)【解析】(1)由()=知，()=4sin2 2 1+2cos(3 )=2(1 cos)1+2(cos cos 3+sin 3 sin)=1 cos+3sin=
17、1+2(32 sin 12 cos)=2sin(6)+1，.3 分()0 (6)12 56+2 6 6+2，#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 9页，共 12页解得 23+2,2，;.6 分(2)(+6)=2sin +1=135，sin =45，因为 (0,2)，所以 cos =1 sin2=35，.8 分因为 (0,2)，所以 =(2,2)，所以 cos()=1 sin2()=513，.10 分所以 sin(2 )=sin()+=sin()cos +cos()sin=1213 35+513 45=1665.12 分2
18、0.某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分 百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图已知调查评分在中的市民有人心理测评评价标准调查评分心理等级1求的值及频率分布直方图中的值；2该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由 每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分3在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市
19、民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率；【答案】1由已知条件可得，1 分又因为每组的小矩形的面积之和为所以，解得；.3 分#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 10页，共 12页2由频率分布直方图可得，估计市民心理健康调查评分的平均值为，所以市民心理健康指数平均值为所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.6 分3由 1知：，则调查评分在中的人数是调查评分在中人数的，若按分层抽样抽取人
20、，则调查评分在中有人，在中有人，.8 分设事件“在抽取的人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为”因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以（）=14 23 23+34 13 23+34 23 13=49.11 分故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率为49.12 分21.如图，在棱长为 3 的正方体 中，为的中点.（1）求证：平面；（2）在体对角线上是否存在动点，使得 平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：连接，交于点，连接.因为四边形是正方形，所以是的中点，.1 分又是的中点，所以 .3 分因为 面,面，所以 面.5 分（2）在对角线上存在点，且=3，使得
21、 平面.6 分证明如下：因为四边形是正方形，所以 .因为 平面,面，所以 .因为 =，所以 平面.8 分因为 平面，所以平面 平面.作 于，因为 ，所以 .因为 平面，平面 平面=，所以 平面.10 分#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#第 11页，共 12页由 ，得=2=93 3=3.11 分所以当=3时，平面.12 分22.(本小题 12.0 分)设函数()的定义域为，对于区间=,(0)是函数()=2+2的“区间”，求的取值范围；(3)已知定义在上，且图象连续不断的函数()满足：对任意，且 .求证：()存在“区间”，且
22、存在0 ，使得0不属于()的任意一个“区间”【解析】()是（满足性质 1）.不是；.2 分(2)记=0,，=()|，易知(0)=0 0,，故若为()的“区间”，则不满足性质，必满足性质，即 ；.3 分()=2+2=(1)2+1，当 0 0，即()，所以=0,()不包含于=0,，不合题意；当 1 2 时，=(0),(1)=0,1 0,=，符合题意；当 2 时，()(2)=(0)=0，所以()，不合题意；.5 分综上可知，1,2；.6 分(3)证明：对于任意区间=,(，即的长度大于的长度，故不满足性质，所以若为()的“区间”，必满足性质，这只需 =，即只需().()=显然不恒成立，所以存在常数 c 使得 .如()，取=，区间=,()满足性质；如 ，取=，区间=,(0，则()0，()0，(0)0，由零点存在性定理，可知存在0 (,0)，使得(0)=0，综上，()有零点0，即(0)=0，.11 分因为()的所有“区间”都满足性质，故0 （否则 0=0 ，与性质不符）即0不属于()的任意一个“区间”，证毕.12 分#QQABZQKEogAoQABAARACQwVgCAEQkgAAAIgGQBAcoEAACQFABCA=#
