1、高中同步测试卷(十一)讲末检测用数学归纳法证明不等式(B)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知f(n)，则f(n)中共有几项()An Bn1 Cn2n Dn2n12用数学归纳法证明122225n1(nN)是31的倍数时，n1时的原式为()A1 B12 C1234 D122223243设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)n Cf(n)n1 Df(n)n24数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4
2、，猜想an等于()A. B. C. D.5已知数列an中，a11，a22，an12anan1(nN)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明()Aa4k1能被4整除 Ba4k2能被4整除 Ca4k3能被4整除 Da4k4能被4整除6若命题A(n)(nN)在nk(kN)时成立，则有nk1时命题也成立现知命题对nn0(n0N)时成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确7某个命题与正整数有关，如果当nk时，该命题不成立，那
3、么可推得nk1时命题也不成立，现在当n5时，该命题成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立 B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立 D当n4时该命题成立8如果命题P(n)对nk成立，则它对nk2亦成立，又若P(n)对n2成立，则下列结论正确的是()AP(n)对所有正整数成立 BP(n)对所有正偶数成立CP(n)对所有正奇数成立 DP(n)对所有比1大的自然数成立9用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除时，若nk时命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A5634k125(34k152k1) B3434k15252kC34k152k1 D2
4、5(34k152k1)10设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k1成立时，总可推出f(k1)k2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(1)2成立，则f(10)11成立 B若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立C若f(2)n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是()A1 B大于1且小于10的某个正整数C10 D11题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中横线上)13对于任意自然数n，n311n都能被m整除，则m的最大值为_14观察式子11，14(12)，149123
5、，猜想第n个式子应为_15已知数列an，其中a26，且满足n，则a1_，a3_，a4_，猜想an_16已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN都成立，那么a_，b_，c_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用数学归纳法证明：(n1，nN)18(本小题满分12分)用数学归纳法证明：(n2，nN)19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明：三个连续正整数的立方和能被9整除20(本小题满分12分)设函数fn(x)CCxCx2Cxn2(nN，n2)，当x1，且x0时，证明：fn(x)0恒成立21.(本小题满分12分
6、)已知yf(x)满足f(n1)f(n)lg an1(n2，nN)，且f(1)lg a，是否存在实数，使f(n)(n2n1)lg a对任意nN都成立？证明你的结论22(本小题满分12分)是否存在常数a，b，c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立若存在，求出a，b，c并证明；若不存在，试说明理由参考答案与解析1D2.D3.C4导学号60840078【解析】选B.由已知a11，Snn2an(n2)，得a1a24a2，解得a2，同理a3，a4，猜想an.5D6.C7.D8【解析】选B.由已知本题具有正偶数的传递性：“P(n)”“P(n2)”9A10.D11.B12
7、导学号60840079【解析】选C.n1时，2113；n2时，2223；n3时，2333；n4时，2443；n9时，29103.所以n010.1361414916(1)n1n2(1)n115【解析】由已知可得1，2，3，将a26代入以上三式，解得a11，a315，a428.由于a11，a223，a335，a447.猜想得ann(2n1)【答案】11528n(2n1)16.17导学号60840080【证明】(1)当n2时，左边1，右边，所以等式成立(2)假设nk(k2)时等式成立，即，两边同乘以1，得，所以当nk1时，等式也成立由(1)，(2)得，对于任意的n1且nN，等式都成立18【证明】(1
8、)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时，不等式成立，即.当nk1时，.所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，原不等式对一切n2，nN均成立19导学号60840081【证明】原命题可表述为n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除(1)当n1时，n3(n1)3(n2)336，命题显然成立(2)假设nk(k1)时，k3(k1)3(k2)3能被9整除，那么当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k927k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3与9都能被9整除，所以k3(k1)3(k2)39(k23k3)也能
9、被9整除也就是说(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除由(1)(2)可知当nN时，原命题成立20导学号60840082【证明】要证fn(x)0恒成立，因为x1，且x0，所以只需证CCxCx2Cxn1nx，即证(1x)n1nx，当n2时，显然成立假设当nk(k2)时不等式成立，即(1x)k1kx，则当nk1时，有(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x，即当nk1时，不等式也成立所以对任意nN，n2，(1x)n1nx成立，即fn(x)0恒成立21导学号60840083【解】f(n)f(n1)lgan1.令n2，f(2)f(1)lg alg alg a0.
10、又f(1)(1)lg a，所以解得，.所以f(n)lg a.下证对任何nN都成立(1)当n1时，显然成立(2)假设当nk(k1)时成立，即f(k)lg a，则当nk1时，f(k1)f(k)lg akf(k)klg alg alg a，所以当nk1时等式成立，综合(1)，(2)知存在，且，使f(n)(n2n1)lg a对任意nN都成立22导学号60840084【解】存在假设存在a，b，c使122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切nN都成立当n1时，a(bc)1；当n2时，2a(4bc)6；当n3时，3a(9bc)19.解方程组解得证明如下：当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立假设nk(k1)时等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；当nk1时，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即nk1时，等式成立因此存在a，b2，c1使等式对一切nN都成立