1、第53讲两条直线的位置关系考试要求1.根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直(B级要求)；2.用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(B级要求)；3.两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离(B级要求).诊 断 自 测1.(2018徐州模拟)过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是_.解析直线x2y20可化为yx1，所以过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程可设为yxb，将点(1，0)代入得b.所以所求直线方程为x2y10.答案x2y102.(教材改编)已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_.解析依题意得1.解得a1或a1.a0，a1.答案
2、13.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.解析由两直线垂直的充要条件得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.答案0或14.(必修2P94习题18改编)已知直线l：y3x3，那么：(1)直线l关于点M(3，2)对称的直线的方程为_;_(2)l关于直线xy20对称的直线的方程为_.答案(1)y3x17(2)x3y10知 识 梳 理1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两
3、条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.考点一两条直线的平行与垂直【例1】 (1)(2018苏北四市联考)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)
4、y50互相平行，则2a3b的最小值为_.(2)(一题多解)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.试判断l1与l2能否平行；当l1l2时，求a的值.(1)解析由得所以a.所以2a3b3b43(b3)913225(当且仅当3(b3)，即b5时取等号).答案25(2)解法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1.综上可知，当a1时，l1l2.法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)16
5、0，l1l2a1，故当a1时，l1l2.法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1与l2不垂直；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1a.法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0a.规律方法(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】 若直线l1经过不同的两点A(2a2，0)，B(2，2)，l2经过不同的两点C(0
6、，1a)，D(1，1).若l1l2，l1l2时，分别求实数a的值.解当a0时，A(2，0)，B(2，2)，C(0，1)，D(1，1).此时kAB不存在，而kCD0，所以l1l2.当a1时，A(0，0)，B(2，2)，C(0，0)，D(1，1)，kABkCD1，又均过原点(0，0)，所以l1与l2重合.当a0且a1时，kAB，kCDa.若l1l2，则kABkCD，即a，得a1或a1(舍去)；若l1l2，则kABkCD1，即(a)1，a不存在.综上， 当a1时，l1l2；当a0时，l1l2.考点二两条直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2018宿迁模拟)求经过两条直线l1：xy40和l2：xy2
7、0的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_.(2)(一题多解)直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_.解析(1)由得l1与l2的交点坐标为(1，3).设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70.(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.故所求直线l的方程为x3y50或x1.法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)
8、，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1，4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案(1)x2y70(2)x3y50或x1规律方法(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.【训练2】 (1)(2018济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则P1P2的中
9、点P到原点的距离的最小值是_.(2)如图，设一直线过点(1，1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.(1)解析设P1P2的中点为P(x，y)，则x，y.x1y150，x2y2150.(x1x2)(y1y2)20，即xy10.yx10，P(x，x10)，P到原点的距离d5.答案5(2)解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过点(1，1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.考点三对称问题【例3】 (1)(2018苏州模拟)过
10、点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_.(2)(2018泰州模拟)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.(1)解析设l1与l的交点为A(a，82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.答案x4y40(2)解在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N
11、(4，3).又m经过点N(4，3).由两点式得直线m的方程为9x46y1020.规律方法解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.【训练3】 已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4，5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1，2)的对称直线.解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即
12、31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，P(4，5)关于直线l的对称点P的坐标为(2，7).(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0，3)关于(1，2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2，1).l关于(1，2)的对称直线平行于直线l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.一、必做题1.(2018常州模拟)过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.解析若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即x
13、ya，则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案4x3y0或xy102.(2018泰州模拟)已知直线l1：x2my30，直线l2的方向向量为a(1，2)，若l1l2，则m的值为_.解析由直线l2的方向向量是a(1，2)，知直线l2的斜率为k22.l1l2，直线l1的斜率存在，且k1.由k1k21，即21，得m1.答案13.(2018山东省实验中学质检)从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_.解析由直线与向量a(8，4)平行知过点(2，3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y
14、轴的对称点为(2，3)，所以反射光线过点(2，3)与(0，2)，由两点式求得方程为x2y40.答案x2y404.一只虫子从点O(0，0)出发，先爬行到直线l：xy10上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_.解析点O(0，0)关于直线xy10的对称点为O(1，1)，则虫子爬行的最短路程为OA2.答案25.若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则PQ的最小值为_.解析因为，所以两直线平行，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以PQ的最小值为.答案6.(2018苏州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(
15、7，3)与点(m，n)重合，则mn_.解析由题意可知，纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.答案7.(2018盐城模拟)正方形的中心为点C(1，0)，一条边所在的直线方程是x3y50，其他三边所在直线的方程分别为_、_、_.解析点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，
16、解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.答案x3y703xy303xy908.在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.解析如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和为PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点.A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)，直线AC的方程为y22(x1)，直线BD的方程为y5(x1).由得Q(2，4).答案(2
17、，4)9.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2，2).(1)证明：对任意的实数该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.证明(1)显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M(2，2).(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知PQPM，当且仅当Q与M重合时，PQPM，kPM1，直线与PM垂直，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而PM4，PQ4，故所证成立.10.
18、已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点.(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.解(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，点A(5，0)到l的距离为3，3，即22520，2或，l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立).dmaxPA.二、选做题11.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点
19、，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_.解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b，3).ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S6.当且仅当9a2，即a24时取等号.答案612.已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).若点P满足条件，则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以直线l的方程为2x0y00或2x0y00；若点P满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能.联立方程解得(舍去)；联立方程解得所以存在点P同时满足三个条件.