1、第2节导数在研究函数中的应用最新考纲1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知 识 梳 理1.函数的单调性与导数已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则函数yf(x)在
2、这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0x0附近的左侧f(x)0图像形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.常用结论与微点提
3、醒1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不
4、一定是极小值.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导函数异号.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(教材习题改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图像，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A3.函数f(x)(a0)的单调递增区间是()A.(，1) B.(1，1)C.(1，) D.(，1)(1，)解析f(x)，令f(x)0，解得1x1，故f(x)的单调递增区间是(1，1).答案
5、B4.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0时，h(x)0，当x0时，h(x)0.(1)当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.(2)当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g
6、(x)0，g(x)单调递增；(3)当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.综上所述：当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减.规律方法利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.讨论的标准有以下几种可能：(1)f(x)0是否有根；(2)若f(x)有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小.【训练1】 已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处
7、取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，得x(x1)(x4)0，解之得1x0或x0.h(x)ax2.若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0时，ax2有解.设G(x)，所以只要aG(x)min.(*)又G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，).(2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)ax20恒成立，
8、(*)则a恒成立，设G(x)，所以aG(x)max.又G(x)1，x1，4，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.当a时，h(x)x2，x1，4，h(x)0，当且仅当x4时等号成立.(*)h(x)在1，4上为减函数.故实数a的取值范围是.规律方法1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.易错警示(1)本例中，对特称命题理解不清，不能把
9、第(1)问转化为ax20有解，难以得到不等式(*).错求a的取值范围.(2)错误理解“f(x)为减函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0”.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.导致在第(2)问中(*)处易错求h(x)0恒成立，另外在(*)处容易忽视a进行检验.【训练2】 (1)(2018安徽江南十校联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1，2 B.4，)C.(，2 D.(0，3解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)x，由f(x)0解得0x3，由题意知解得1a2，答案A(
10、2)(2018兰州模拟)已知函数f(x)x22aln x(a2)x.当a1时，求函数f(x)的单调区间；是否存在实数a，使函数g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.解当a1时，f(x)x22ln x3x，则f(x)x3.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)0时恒成立，a(x22x)(x1)2恒成立.又(x)(x1)2，x(0，)的最小值为.当a时，g(x)0恒成立.又当a，g(x)当且仅当x1时，g(x)0.故当a时，g(x)f(x)ax在(0，)上单调递增.考点三函数单调性的简单应用(多维探究)命题角度1利用函数的单
11、调性解不等式【例31】 (1)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)(2)(2017江苏卷)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_.解析(1)设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数.m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1.(2)f(x)3x22ex3x2223x20且f(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数.又f(x)(x)32(x)exf(x)，故f(x)为奇函数.由f
12、(a1)f(2a2)0得，f(2a2)f(a1)f(1a)，所以2a21a，解得1a，故实数a的取值范围为.答案(1)B(2)命题角度2利用函数的单调性比较大小【例32】 (1)(2017安徽二模)已知f(x)，则()A.f(2)f(e)f(3) B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e) D.f(e)f(3)f(2)(2)(2017南昌模拟)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin x f B.f f(1)C.f f D.f 0，x(e，)，f(x)f(3)f(2).(2)构造g(x)，则g(x)g，即，即f f .答案(1)D(2)A规
13、律方法利用导数比较大小或解不等式的常用技巧：利用题目条件、构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.【训练3】 (2018武汉模拟)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是()A.abc B.bca C.acb D.ca0时，xf(x)f(x)0，g(x)0.g(x)在(0，)上是减函数.由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，g(3)g(e)g(ln 2)，故ca0，
14、解得xe1，所以函数f(x)的单调递增区间是(e1，).答案D2.已知f(x)1xsin x，则f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是()A.f(2)f(3)f() B.f(3)f(2)f()C.f(2)f()f(3) D.f()f(3)f(2)解析因为f(x)1xsin x，所以f(x)1cos x，当x(0，时，f(x)0，所以f(x)在(0，上是增函数，所以f()f(3)f(2).答案D3.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是()解析利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应
15、yf(x)的减区间，验证只有D选项符合.答案D4.(2018豫南九校联考)已知f(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，满足f(x)2f(x)0的解集为()A.(，1) B.(1，1)C.(，0) D.(1，)解析设g(x)，则g(x)0g(x)0，所以x2，a2.答案D二、填空题6.已知函数f(x)(x22x)ex(xR，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为_.解析因为f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，解得a3，所以实数a的取值范围是(3，0)(0，)
16、.答案(3，0)(0，)8.(2018长治联考)定义在(0，)上的函数f(x)满足x2f(x)10，f(1)6，则不等式f(lg x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，f(1)6，g(1)0，故g(x)0的解集为(0，1)，即f(x)5的解集为(0，1)，由0lg x1，得1x0).则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.但1(0，)，舍去.当x(0，5)时，f(x)0.f(x)的增区间为(5，)，减区间为(0，5).10.已知aR，若函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围.解因为函数f(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对
17、x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1，1)都成立.令g(x)(x1)，则g(x)10，所以g(x)(x1)在(1，1)上单调递增，所以g(x)g(1)(11)，所以a，又当a时，当且仅当x0时，f(x)0，所以a的取值范围是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017山东卷)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)2x B.
18、f(x)x2C.f(x)3x D.f(x)cos x解析设函数g(x)exf(x)，对于A，g(x)ex2x，在定义域R上为增函数，A正确.对于B，g(x)exx2，则g(x)x(x2)ex，由g(x)0得x0，g(x)在定义域R上不是增函数，B不正确.对于C，g(x)ex3x在定义域R上是减函数，C不正确.对于D，g(x)excos x，则g(x)excos，g(x)0在定义域R上不恒成立，D不正确.答案A12.函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf ，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_(由小到大).解析依题意得，当x0，则f(x)在(，1)上为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f ，即有f(3)f(0)f ，cab.答案ca1时，g(x)0.(1)解由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)证明令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以s(x)s(1)，即ex1x，从而g(x)0.
