1、第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.常用结论与微点提醒1.(
2、1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n
3、0)也是函数的周期.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于yf(xb)的图像关于(0，0)对称，根据图像平移变换，知yf(x)的图像关于(b，0)对称，正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材例题改编)下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2x解析根据偶函数的定义知偶
4、函数满足f(x)f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.答案B3.已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A. B. C. D.解析依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.答案B4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f _.解析f(x)的周期为2，f f ，又当1x0时，f(x)4x22，f f 421.答案15.(2017山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_.解析
5、f(x4)f(x2)，f(x2)4f(x2)2，即f(x6)f(x)，f(919)f(15361)f(1)，又f(x)在R上是偶函数，f(1)f(1)6(1)6，即f(919)6.答案6考点一函数的奇偶性【例1】 (1)(2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.解析f(x)为偶函数，则yln(x)为奇函数，所以ln(x)ln(x)0，则ln(ax2x2)0，a1.答案1(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)解由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.由得定义域为(
6、1，0)(0，1)，关于原点对称.x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数.显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数.规律方法1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系.2.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到
7、关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.yxsin 2x B.yx2cos xC.y2x D.yx2sin x(2)(2018淄博诊断)已知奇函数f(x)则f(2)的值等于_.解析(1)对于A，定义域为R，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(x)2x2xf(x)，为偶函数；yx2sin x既不是偶函数也不是奇函数.(2)因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)
8、0，则30a0，a1.当x0时，f(x)3x1，则f(2)3218，因此f(2)f(2)8.答案(1)D(2)8考点二函数的周期性及其应用【例2】 (1)(2018延安月考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则f f(2)_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.解析(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x)在R上的周期为2，f(2)f(0)0.又f f f 42，f f(2)2.(2)f(x4)f(x2)2f(x).故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5
9、)f(2.5).22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.答案(1)2(2)2.5规律方法1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f(xa)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.【训练2】 (2016山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x时，f f .则f(6)()A.2 B.1 C.0 D.2解析当x时，由f(x)f(x)，得f(x)f(x1)，f(6)f(1)，又由题意知f(1)f(1)，且f(1)(1)312.因此f(6)f(1)2.答案D考点三函数性质的综合运用(多维探
10、究)命题角度1函数单调性与奇偶性【例31】 (1)(一题多解)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bclog25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.法二(特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab.(2)由f(x)ln(1|x|)，知f(x)为R上的偶函数，于是f(x)f(2x1)即为f(|x
11、|)f(|2x1|).当x0时，f(x)ln(1x)，所以f(x)为0，)上的增函数，则由f(|x|)f(|2x1|)得|x|2x1|，两边平方得3x24x10，解得x1.答案(1)C(2)命题角度2函数的奇偶性与周期性【例32】 (1)(2017石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()A.(1，4) B.(2，0)C.(1，0) D.(1，2)(2)(2018合肥质检)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)则f f _.解析(1)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1
12、)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1af(3) B.f(2)f(5)C.f(3)f(5) D.f(3)f(6)解析(1)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f 且f(1)f(1)，故f f ，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.(2)yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)，因此yf(x)的图像关于直线x4对称，f(2)f(6)，f(3)f(5).又yf(x)在(4，)上为减函数，f(5)f(6)，所以f(3)f(6).答案(1)10(2)D基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018九江调研
13、)在函数yxcos x，yexx2，ylg，yxsin x中，偶函数的个数是()A.3 B.2 C.1 D.0解析yxcos x为奇函数，yexx2为非奇非偶函数，ylg与yxsin x为偶函数.答案B2.(2018商丘模拟)已知函数f(x)ln(ex)ln(ex)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0，e)上是增函数B.奇函数，且在(0，e)上是减函数C.偶函数，且在(0，e)上是增函数D.偶函数，且在(0，e)上是减函数解析f(x)的定义域为(e，e)，且f(x)ln(e2x2).又te2x2是偶函数，且在(0，e)上是减函数，f(x)是偶函数，且在(0，e)上是减函数.答案D3.已知f(
14、x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(2，0)时，f(x)2x2，则f(2 019)等于()A.2 B.2 C.98 D.98解析由f(x4)f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)，又f(x4)f(x)，f(3)f(1)，由1(2，0)得f(1)2，f(2 019)2.答案B4.(2018河北“五个一”名校联盟质检)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)则gf(8)()A.2 B.1 C.1 D.2解析由题意，得f(8)f(8)log3(81)2，gf(8)g(2)f(2)f(2)log3(21)1.答案B5.(2017天津卷)
15、已知奇函数f(x)在R上是增函数.若af ，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.bac C.cba D.calog24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.答案C二、填空题6.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.解析x(，0)时，f(x)2x3x2，且f(x)在R上为奇函数，f(2)f(2)2(2)3(2)212.答案127.若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.解析由于f(x)f(x)，ln(e3x1)axln(e3
16、x1)ax，化简得2ax3x0(xR)，则2a30，a.答案8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)f 2f(1)，那么t的取值范围是_.解析由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)f ，由f(ln t)f 2f(1)，得f(ln t)f(1).又函数f(x)在区间0，)上是单调递增函数，所以|ln t|1，即1ln t1，故te.答案三、解答题9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f f 成立.(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值.(1)证明由f f
17、 ，且f(x)f(x)，得f(x3)f(x)f(x)，因此函数yf(x)是以3为周期的函数.(2)解由f(x)是定义在R上的奇函数，知f(0)0，f(3)f(0)0.又f(2)f(1)f(1)2，故f(2)f(3)202.10.已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x).于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图像知所以10的a的取值范围是()A.(0，2) B.(1，)
18、 C.(1，2) D.(0，)解析易知f(x)x3sin x，x(1，1)是奇函数，又f(x)3x2cos x0，yf(x)在区间(1，1)上是增函数，由f(a21)f(a1)0，得f(a21)f(1a).解得1a.答案B12.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图像在区间0，6上与x轴的交点个数为_.解析因为当0x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图像在区间0，6上与x轴的交点有7个.答案713.
19、设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数且f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x).故知函数yf(x)的图像关于直线x1对称.又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如下图所示.当4x4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.