1、第7节抛物线最新考纲1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，y
2、Rx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下常用结论与微点提醒1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3、则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程yax2(a0)可化为x2y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.答案(1)(2)(3)(4)2.以x1为准线的抛物线的标准方程为()A.y22x B.y22x C.y24x D.y24x解析由准线x1知，抛物线方程为：y22px(p0)且1，p2，抛物线的方程为y24x.答案D3.(2018黄冈联考)已知方程y24x表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为()A.5 B
4、.3或5C.2或6 D.6解析抛物线y24x的焦点为F(1，0)，它与直线xm的距离为d|m1|4，m3或5，故选B.答案B4.(教材练习改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.解析很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0)，把点P(2，4)的坐标代入得(4)22p(2)，解得p4，此时抛物线的标准方程为y28x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x22py(p0)，把点P(2，4)的坐标代入得(2)22p(4)，解得p，此时抛物线的标准方程为x2y.综上可知，
5、抛物线的标准方程为y28x或x2y.答案y28x或x2y5.已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范围是1，1.答案1，1考点一抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点D到y轴的距离为()A. B.1 C. D.(2)若抛物线y22x的焦点是F，点P是
6、抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|PF|取最小值时点P的坐标为_.解析(1)因为抛物线y2x的准线方程为x.如图所示，过点A，B，D分别作直线x的垂线，垂足分别为G，E，M，因为|AF|BF|3，根据抛物线的定义，|AG|AF|，|BE|BF|，所以|AG|BE|3，所以|MD|，即线段AB的中点D到y轴的距离为.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2，2).答案(1)C(2)(2，2)规
7、律方法应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0|或|PF|y0|.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.(2)(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x
8、轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案(1)y24x(2)6考点二抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A.x2y B.x2yC.x28y D.x216y(2)(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D
9、，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8解析(1)1(a0，b0)的离心率为2，2，即4，.x22py(p0)的焦点坐标为，1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，解得p8.故C2的方程为x216y.(2)不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2(r0)，|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D，点A，D在圆x2y2r2上，85，解得p4(负值舍去)，故C的焦点到准线的距离为4.答案(1)D(2)B规律方法1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程
10、的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_.(2)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|3，则AOB的面积为_.(1)解析设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|2|BF|2|BB1|，则直线的斜率为，故|AC|2|
11、AA1|6，从而|BF|1，|AB|4，故，即p，从而抛物线的方程为y23x.(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标为y2，所以A(2，2)，所以直线AF的方程为y2(x1)，联立直线与抛物线的方程解得或由图知B，所以SAOB1|yAyB|.答案(1)y23x(2)考点三直线与抛物线的位置关系(多维探究)命题角度1直线与抛物线的公共点(交点)问题【例31】 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(
12、p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.命题角度2与抛物线弦长(中点)有关的问题【例32】 (2017北
13、京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.(1)解把P(1，1)代入y22px，得p，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y得4k2x2(4k4)x10.考
14、虑(4k4)244k216(12k)，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B.1C. D.2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PFx轴知，|PF|2，所以P点的坐标为(1，2)，代入曲线y(k0)得k2.答案D3.(2018张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|()A.9 B.8C.7 D.6解析抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.答案B4.(2018铁岭质检)设抛物线C：y23x的焦
15、点为F，点A为C上一点，若|FA|3，则直线FA的倾斜角为()A. B.C.或 D.或解析如图，作AHl于H，则|AH|FA|3，作FEAH于E，则|AE|3，在RtAEF中，cosEAF，EAF，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.答案C5.(2018衡水调研)已知抛物线y24x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值为()A.12 B.24C.16 D.32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x4，由得y14，y24，yy32.当直线的斜率存在时，设其方程为yk(x4)，由得ky24y16k0，y1y2，y1y2
16、16，yy(y1y2)22y1y23232，综上可知，yy32.yy的最小值为32.答案D二、填空题6.(2018广东省际名校联考)圆(x1)2y21的圆心是抛物线y2px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积.解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得
17、y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8，0).故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.10.(2017全国卷)设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24.于是直线AB的斜率k1.(2)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2，1).
18、设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2，2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1，222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为xy70.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018南昌模拟)已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.解析由抛物线C1：yx2(p0)得x22py(p0)，所以抛物线的焦点坐标为.由y21得a，b1，c2.所
19、以双曲线的右焦点为(2，0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为.即px4y2p0.设M(x00)，则C1在点M处的切线的斜率为.由题意可知，解得x0p，所以M，把M点的坐标代入得p2p0.解得p.答案D12.已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为2xy40，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则mn的最小值为_.解析如图，过A作AHl，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|AN|mn1，连接AF，则|AF|AH|mn1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|AH|mn1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即，即mn的最小值为1.答案11
20、3.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.