1、12空间向量在立体几何中的应用12.1空间中的点、直线与空间向量新课程标准解读核心素养1.理解直线的方向向量，并能利用方向向量判定直线的位置关系数学抽象、直观想象2.能用向量方法解决直线与直线所成角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用数学运算一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行在比赛过程中，裁判员除了说一些必要的语言外，他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛比如，直接任意球要求裁判单臂侧平举，明确批示踢球方向；间接任意球要求裁判单臂上举，掌心向前，此手势应持续到球踢出后，并被场上其他队员触及或成死球时为止这一规定有着明确的方向性和细节要求，必须进行专业培训才能掌握在不同领域有不同
2、的“语言”，研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行问题(1)一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？(2)怎样用向量来表示直线在空间中的位置？(3)怎样用向量来表示平面在空间中的位置？知识点直线的方向向量1定义：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量2两直线平行与垂直的判定如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则(1)v1v2l1l2，或l1与l2重合；(2)l1l2v1v203空间中两条直线所成的角设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且
3、l1与l2所成角的大小为，如图所示，则v1，v2或v1，v2，sin sin_v1，v2或cos |cos_v1，v2|4异面直线与空间向量(1)设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行；若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面；(2)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，Ml1，Nl2，MNl1，MNl2则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离空间中两直线所成角的范围设空间中两直线l1，l2所成角的大小为，两直线的方向向量分别为v1，v2.由v1，v2或
4、v1，v2，sin sin v1，v2或cos |cos v1，v2|，可知0.两异面直线所成的角与两直线的方向向量的夹角一定相等吗？提示：不一定相等，若两异面直线的方向向量夹角v1，v2时等于异面直线所成角，若v1，v2时，则异面直线所成角为v1，v21已知空间直线l上两点A(3，2，1)，B(1，3，1)，则直线l的一个方向向量为_(写出一个即可).答案：(2，5，0)2在正方体ABCDA1B1C1D1中，则直线AB与直线A1D1所成的角为_，直线AB与直线CD1所成的角为_答案：9045空间中点的位置确定例1已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，
5、C(0，3，5).(1)若()，求P点的坐标；(2)若P是线段AB上的一点，且APPB12，求P点的坐标解(1)(1，1，5)，(3，1，5)，()(2，2，0)(1，1，0)，P点的坐标为(1，1，0).(2)由P是线段AB上的一点，且APPB12，知设点P的坐标为(x，y，z)，则(x3，y4，z)，(2x，5y，5z)，故(x3，y4，z)(2x，5y，5z)，即得因此P点的坐标为.求空间点的坐标此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出待求的点的坐标，利用已知条件列出关于待求点的坐标为未知数的方程或方程组，再求解即可跟踪训练已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向
6、为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为数轴上的两点，且分别满足条件：(1)APPB12；(2)AQQB21.求点P和点Q的坐标解：(1)由已知，得2，即2()，设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2，4，0)(1，3，3)，即x，y，z011.因此，P点的坐标是.(2)因为AQQB21，所以2，2()，2，设点Q的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2，4，0)2(1，3，3)(0，2，6)，即x0，y2，z6.因此，Q点的坐标是(0，2，6).利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)例2(链接教科书第32页例3)如图，点M，N分别是正
7、方体ABCDABCD的棱BB和BC的中点，求：(1)MN和CD所成角的大小；(2)MN和AD所成角的大小解法一：设正方体棱长为1，分别以，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则C(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，0)，M，N，D(0，0，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，.(1)cos ，60，即MN和CD所成角为60.(2)cos ，45，即MN与AD所成角为45.法二：设正方体的棱长为1.，(1)()2，|1，cos ，60，即MN和CD所成角为60.(2)2，|1.cos ，45，即MN与AD所成角为45.求异面直线所成的角的方法(1)基底法：在一些不适合建
8、立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧在由公式cos a，b求向量a，b的夹角时，关键是求出ab及|a|与|b|，一般是把a，b用基底表示出来，再求有关的量；(2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单跟踪训练已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为()A BC D解析：选C，于是|，|1，且()，于是cos ，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.利用空间向量处理平行与垂直问题例3(链接教科书第30页例1、第32页例2、第35页例4)如图
9、所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点求证：(1)AD1G1G；(2)AD1EF；(3)A1GDF.证明设a，b，c，则|a|b|c|1且abbcac0.(1)因为bc，acbabc，所以(bc)(bc)b2c20，所以，所以AD1G1G.(2)因为bc，bc，所以，所以EFAD1.(3)因为cba，ab，所以 a2b20，所以，所以A1GDF.1要证两直线垂直，由数量积的性质abab0可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可2要证两直线平行，可求出两直线的方向向量，只要证明这两个向量满足ab即可
10、跟踪训练在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G分别是CC1，A1C1，CD的中点证明：(1)AB1GE，AB1EF；(2)直线GF与直线BA1不平行证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，由中点坐标公式得E，G，F.(1)(1，0，1)，2，1010，故AB1GE，AB1EF.(2)，(1，0，1)，又，与不平行为直线GF的一个方向向量，为直线BA1的一个方向向量，当时，必有GFBA1.由上可知直线GF与直线BA1不平行1若A(1，0，1)，B(2，3，4)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(1，3，3) B(1，3，3)C(3，3，5) D(2，4，6)解析：选B(2，3，4)(1，0，1)(1，3，3).2向量a(x，1，2)，b(3，x，4)，ab，则x()A8 B4C2 D0解析：选C向量a(x，1，2)，b(3，x，4)，ab，ab3xx80，解得x2.故选C.3直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1(1，1，2)，直线l2的方向向量为v2(2，0，1)，则直线l1与l2的位置关系为_解析：v1v21(2)102(1)0，v1v2.答案：垂直