1、第2讲第2课时利用导数研究函数的极值、最值一、选择题1.(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A.4 B.2 C.4 D.2解析f(x)3x212，x0，2x2时，f(x)2时，f(x)0，x2是f(x)的极小值点.答案D2.函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B.1 C.0 D.不存在解析f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0，即a23a180，a6或a0时，f(x)2x0；当x0时，f(x)3x233(x1)(x1)，当x0，f(x)是增函数，当1x0时，f(x)0时，ex1，aex0，r0).(1)求f(x)的定义域，并讨论
2、f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值.解(1)由题意可知xr，所求的定义域为(，r)(r，).f(x)，f(x).所以当xr时，f(x)0；当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r).(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减.因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100，f(x)在(0，)内无极小值；综上，f(x)在(0，)内极大值为100，无极小值.10.已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区
3、间0，1上的最小值.解(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x
4、)在0，1上的最小值为f(0)k；当1k0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.9解析f(x)12x22ax2b，则f(1)122a2b0，则ab6，又a0，b0，则tab9，当且仅当ab3时取等号.答案D12.(2017上饶调研)若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A.5，0) B.(5，0)C.3，0) D.(3，0)解析由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图像如图所示.令x3x2得，x0或x3，则结合
5、图像可知，解得a3，0)，故选C.答案C13.函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是_.解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1，1).答案(1，1)14.(2017济南模拟)设函数f(x)ln(xa)x2.(1)若当x1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.解(1)f(x)2x，依题意，有f(1)0，故a.从而f(x)，且f(x)的定义域为，当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0.f(x)在区间，上单调递增，在上单调递减.(2)f(x)的定义域为(a，)，f(x).方程2x22ax10的判别式4a28，若0，即a时，f(x)0，故f(x)无极值.若0，即a，则2x22ax10有两个不同的实根，x1，x2.当a时，x1a，x20在定义域上恒成立，故f(x)无极值.当a时，ax1ln()21ln.