1、小题专项集训(十三)立体几何（二）(时间：40分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，x，则x的值为 ()A. B. C. D0解析由四点共面的充要条件，知x1，因此x.答案A2. (2011辽宁)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC平面SBD，因而ACSB，A正确；ABDC，DC平面SCD，故AB平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，
2、因而所成的角相同答案D3点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是 ()A(0,0，2) B(0,0，3)C(0,0，) D(0,0，1)解析设M为(0,0，z)，直线l的一个单位方向向量为s0，故点M到直线l的距离d ，解得z3.答案B4在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()A BC. D.解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.则(1,1,0)，若异面直线DE与AC所成的角为，cos |cos，|.答案D5(2011全国)已知二面角l，
3、点A，ACl，C为垂足，B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于 ()A. B. C. D1解析，|2|2|2|2，|22.在RtBDC中，BC.面ABC面BCD，过D作DHBC于H，则DH面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH.故选C.答案C6如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为 ()A. B.C. D.解析以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1ABAC2，则(0,2,1)，Q(1,1,0)
4、，P(1,0,2)，(0，1,2)，所以0，所以QP与AM所成角为.答案D7如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为 ()解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则|MC|，|MP| .由|MP|MC|得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一部分答案A8如图所示，在四面体PABC中，PC面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为 ()A. B.C D.解
5、析如图所示，作BDAP于D，作CEAP于E.设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.因为，所以2222222，所以，所以cos，.故选C.答案C9(2013南通一模)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，则 ()AEF至多与A1D、AC之一垂直BEF与A1D、AC都垂直CEF与BD1相交DEF与BD1异面解析设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(
6、0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC，故选B.答案B10P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为()A60 B70 C80 D90解析不妨设PMa，PNb，如图所示，作MEAB于E，NFAB于F，因为BPMBPN45，所以PEa，PFb，所以()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，所以，所以二面角AB的大小为90.答案D二、填空题(每小题5分，共25分)11若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)
7、(2b)2，则x_.解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，(ca)(2b)(0,0,1x)(2,4,2)2(1x)2，解得x2.答案212(2013徐州模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，C(0,1,0)，(1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为.cos |cos，|.答案13如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2.则直线PA与平面DEF所成
8、角的正弦值为_解析如图，以点A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.ABAC1，PA2，得A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,1，0)，P(0,0,2)，D，E，F.(0,0,2)，.设平面DEF的法向量为n(x，y，z)则即解得取z1，则平面DEF的一个法向量为n(2,0,1)设PA与平面DEF所成的角为，则sin |cos，n|，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.答案14已知：如图，ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M、N、D分别是SC、AB、BC的中点，则A到平面SND的距离为_解析建立如图的空间
9、直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4，0)，(0，2,2)，(1,4，2)设平面SND的法向量为n(x，y,1)，n0，n0，n(2,1,1)(0,0,2)A到平面SND的距离为.答案15如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2，ABBC，则二面角B1A1CC1的大小是_解析如图所示，以B为原点O，OA，OC，OB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M，M的坐标为(1,1,0)，连接BM，由题意，知BMAC，BMCC1，又ACCC1C，所以BM平面A1C1CA，即(1,1,0)是平面A1C1CA的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量为n(x，y，z)，由题意，得(2,2，2)，(2,0,0)，所以令z1，得x0，y1，所以n(0,1,1)设法向量n与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角，所以cos |cos |，解得.答案