1、第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1.(2016北京卷)若x，y满足则2xy的最大值为()A.0 B.3 C.4 D.5解析画出可行域，如图中阴影部分所示，令z2xy，则y2xz，当直线y2xz过点A(1，2)时，z最大，zmax4.答案C2.(2016泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为()A.1 B. C. D.解析作出不等式组对应的区域为BCD，由题意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).答案D3.(2017广州二测)不等式组的解集记为D，若(a，b)D，则z2a3b的最小值是()A.4 B.1 C.1 D.4解析画出不等式组表示的平面区域，如
2、图中阴影部分所示，当a2，b0，z2a3b取得最小值4.答案A4.(2016山东卷)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.12解析作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x2y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A(3，1)到原点的距离最大.所以x2y2的最大值为32(1)210.答案C5.x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1B.2或 C.2或1D.2或1解析如图，由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0时，要使
3、zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1.答案D6.(2016浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|()A.2 B.4 C.3 D.6解析由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示.因为直线xy20与直线xy0平行，所以可行域内的点在直线xy20上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，2)，D(1，1)，所以|AB|CD|3.答案C7.(2017石家庄质检)已知x，y满足约束条件若目标函数zymx(m0)的最大值为1，则m的值是()A. B.1 C.2 D.5解析作出可行域，如图
4、所示的阴影部分.化目标函数zymx(m0)为ymxz，由图可知，当直线ymxz过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1，2)，2m1，解得m1.故选B.答案B8.(2017贵州黔东南模拟)若变量x、y满足约束条件则(x2)2y2的最小值为()A. B. C. D.5解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z(x2)2y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C、D间的距离最小，此时z最小.由得即C(0，1)，此时zmin(x2)2y2415，故选D.答案D二、填空题9.设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为_.解析由线性约束条件画出可
5、行域(如图所示).由zx2y，得yxz，z的几何意义是直线yxz在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线yxz过点A(1，1)时，z最小，最小值为3.答案310.(2017合肥模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是_.解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A，B，C(1，1).设z2xy，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，z2xy取得最大值3.答案311.(2017衡水中学月考)若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_.解析约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线xm从
6、如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值.解方程组得A点坐标为(1，2).m的最大值为1.答案112.已知实数x，y满足设bx2y，若b的最小值为2，则b的最大值为_.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l0：x2y0，y，当l0平移至A点处时b有最小值，bmina，又bmin2，a2，当l0平移至B(a，2a)时，b有最大值bmaxa2(2a)5a10.答案1013.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两
7、种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A.1 800元 B.2 400元C.2 800元 D.3 100元解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y的约束条件为设获利z元，则z300x400y.画出可行域如图.画直线l：300x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值.由解得即M的坐标为(4，4)，zmax300440042 800(元)，故选C.答案C14.(2017许昌监测)设实数x，y满足则的最小值是()A.5 B.C. D.5解
8、析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(1，1)所在直线的斜率，由图像可知当P位于点时，直线AP的斜率最小，此时w的最小值为，故选B.答案B15.已知变量x，y满足约束条件若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是_.解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3，0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.答案16.(2015浙江卷)若实数x，y满足x2y21，则|2xy4|6x3y|的最大值是_.解析x2y21，2xy40，6x3y0，|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令z103x4y，如图，设OA与直线3x4y0垂直；直线OA的方程为yx，联立得A，当z103x4y过点A时，z取最大值，zmax103415.答案15
