1、课下能力提升(八)学业水平达标练题组1面积、体积的最值问题1如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.3 B.3C.3 D.3解析：选A设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr2l2r3.则Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(
2、cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.题组2成本最低(费用最省)问题3做一个容积为256
3、 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 m B8 m C4 m D2 m解析：选C设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)4某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4nx2x2，令f(x)x0，解得x20.且当0x20时f(x)20时f(x)0，故x20时，f(x)最小答案：205.某单位用木料
4、制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，求x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解：依题意有xyx8，y(0x4)框架用料总长度L(x)2x2y2x，则L(x).令L(x)0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，L(x)0；当84x0.当x84时，L(x)取得最小值，此时x842.343(m)，y22.828(m)故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省题组3利润最大问题6已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生
5、产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件 C9万件 D7万件解析：选C因为yx281，所以当(9，)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9时函数取最大值7某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30 元 B60 元 C28 000 元 D23 000 元解析：选D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p1
6、66 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍去)，又当0x0；当0.032x0.048时，y
7、0；x时，L(x)0，所以当x时，L(x)在8,11上取到极大值，也是最大值，L(万元)故当每件售价为元时，公司一年的利润L最大，最大利润是万元能力提升综合练1将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A2和6 B4和4C3和5 D以上都不对解析：选B设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小2设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B. C. D2解析：选C设底面边长为x，高为h，x2hV，h
8、.S表2x23xhx2，S(x)x，令S(x)0可得x，x34V，x.当0x时，S(x)时，S(x)0，当x时，S(x)最小3某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32 m,16 m B30 m,15 mC40 m,20 m D36 m,18 m解析：选A设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy512，堆料场的周长lx2y2y(y0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l16时，l0，所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.4某公
9、司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x(0x390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200 C250 D300解析：选D由题意可得总利润P(x)300x20 000，0x390，由P(x)3000，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x)最大5要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设高为h，则底面半径r，0h20，Vr2h(400h2)hhh3.由Vh20得h2，h或h(舍去)，因为当0h
10、0，当h时，V0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.答案：7某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4x12)之间满足关系：P 0.1x23.2 ln x3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元(利润盈利亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？解：(1)由题意得，所获得的利润
11、为y102(xP)P20x3x296ln x90(4x12)(2)由(1)知，y.当4x6时，y0，函数在4,6)上为增函数；当6x12时，y0，函数在(6,12上为减函数，所以当x6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y20636296ln 69096ln 678(万元)故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 678)万元8某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l
12、2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解：(1)由题意知，M点的坐标为(5,40)，N点的坐标为(20,2.5)，代入曲线C的方程y，可得解得(2)由(1)知曲线C的方程为y(5x20)，y，所以yxt即为l的斜率又当xt时，y，所以P点的坐标为，所以l的方程为y(xt)令x0，得y；令y0，得xt.所以f(t) ，其中5t20.由知f(t) ，其中5t20.令g(t)22t2，所以g(t)t.因为5t20，令g(t)0，得10t20.所以g(t)在区间5,10)单调递减，在(10，20单调递增所以g(10)675是g(t)的极小值，也是最小值所以当t10时，f(t)取得最小值，最小值为f(10)15.即最短长度为15.
