1、六安一中20202021年度第二学期高一年级期末考试数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.前8题为单选题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的；第9题，10题，11题，12题为多项选择题，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.1. 从数字1，2，3，4中，有放回地抽取2个数字组成一个两位数，其各位数字之和等于4的概率为（ ）A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）A. B. C. D. 3. 已知空间向量，满足，则与的夹角为（ ）A. B.
2、C. D. 4. 如图，在矩形中，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 5. 已知点，点在轴上，则的最小值为（ ）A. 6B. C. D. 6. 下列叙述错误的是（ ）A. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为7. 已知直线恒经过定点，则点到直线：的距离是（ ）A. 6B. 3C. 4D.
3、 78. 已知是直线上的一个动点，定点，是线段延长线上的一点，且，则点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 9. 以下命题正确的是（ ）A. 若直线的斜率，则其倾斜角为B. 已知，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，四点共面C. 不经过原点的直线都可以用方程表示D. 若点在线段上运动，则的最大值为10. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则的最小值是11. 百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他
4、适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（ ）（名词解释：高中阶段毛入学率在校生规模适龄青少年总人数100%）A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人12. 正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，下列结论正确的有（ ）A. 面B. 面C. 过三点所得正方体的截面的面积为D. 在面上的投影为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
5、其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13. 已知一组数据，的方差是2，那么另一组数据，的方差是_.14. 设，若从集合中一次性随机抽取两个数，分别记为，则满足的概率为_.15. 已知四棱柱的底面为菱形，底面，点是线段上靠近的四等分点，动点在四棱柱的表面，且，则动点的轨迹长度为_.16. 如图所示的平行六面体中，已知，为上一点，且.若，则的值为_；若为棱的中点，平面，则的值为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17. 在中，已知，.（1）若直线过点，且点，到的距离相等，求直线的方程；（2）
6、若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程.18. 如图，在三棱柱中，平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值.19. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，后得到如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计本次考试数学成绩的第55百分位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段内的概率.20. 如图，四棱台的上、下底面均为菱形，平面，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所
7、成的角.21. 如图，已知斜三棱柱，的中点为.且面，.（1）求证：；（2）在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.22. 已知函数.（1）若，求的值；（2）记在区间上的最小值为.求的解析式；若对于恒成立，求实数的取值范围.六安一中20202021年度第二学期高一年级期末考试数学试卷参考答案一、选择题：1-5：DCCAB6-8：CBC9. BD 10. ABD 11. BD 12. ABC二、填空题：13. 8 14. 15. 16. 三、解答题：17、（1）点，到的距离相等，直线过线段的中点或，当直线过线段的中点时，直线斜率不存在，则的方程为；当时，则斜率，则的方程为，即；综上，的方程
8、为或；（2）设关于的角平分线的对称点为，解得，再由，在直线上，解得的方程为.18、（1）证明：如图以的中点为原点建系，.设是平面的一个法向量，则.又，.令，.又平面，平面.（2），.19、（1）由频率分布直方图，得：分数在内的频率为：.，补全后的直方图如图所示.（2），得.（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，则分数段为中抽取的学生数为：人，分数段为中抽取的学生数为：人，将该样本看成一个总体，从中任取2个，基本事件总数，至多有1人在分数段内包含的基本事件为：，至多有1人在分数段内的概率.20、（1）证：由四棱台的上、下底面均为菱形，且，连接.且，四边形为平行四边形，又因为面，面.（2）以为原点，为，轴建系，则，若为面的法向量，则，易得，若为面的法向量，则，易得，.21、（1）作交于点，分别以，所在直线为，轴建系，所以，所以.（2）设，设面的一个法向量为，有，因为，若直线与平面所成角的正弦值为.，即，解得或（舍）.所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.22、（1），所以；（2），令，所以，令，或.当时，；当时，；当时，.所以。函数的图象如图所示，从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，所以，所以，或.