1、13.1归纳与类比最新考纲考情考向分析1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、高档题.1归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性我们将这种推理方式称为归纳推理简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理
2、归纳推理的基本模式：a，b，cM且a，b，c具有某属性，结论：任意dM，d也具有某属性2类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a，b，c；结论：B具有属性d.(a，b，c，d与a，b，c，d相似或相同)3归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确4演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中
3、打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()题组二教材改编2已知在数列an中，a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n
4、1 Ban4n3Cann2Dan3n1答案C解析a2a134，a3a259，a4a3716，a112，a222，a332，a442，猜想ann2.3在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n (n19，nN)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_答案b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，bb1nb17n，可知存在的等式为b1b2bnb1b2b17n(n0(i1,2,3，n)，观察下列不等式：；照此规律，当nN，n2时，_.答案解析根据题意得(nN，n2)命题点3与数列有关的推理典例 (2017湖北七市教科
5、研协作体联考)观察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)；可以推测，1515n(n1)(n2)(n3)_.答案n(n1)(n2)(n3)(n4)(nN)解析根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n1)(n2)(n3)(n4)n(n1)(n2)(n3)(n4) (nN)命题点4与图形变化有关的推理典例(2017大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A21 B34 C52 D55答案D解析由211,312,523知，从第三项起，每一项都等于前
6、两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性跟踪训练 (1)将自然数0,1,2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是()答案A解析从所给的图
7、形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，01，箭头垂直指下，45箭头也是垂直指下，89也是如此，而2 0164504，所以2 0162 017也是箭头垂直指下，之后2 0172 018的箭头是水平向右，故选A.(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6 B7C8 D9答案C解析由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为26，第4层的点数为36，第5层的点数为46，第n(n2，nN*)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nN)层
8、，则共有的点数为16626(n1)163n23n1，由题意，得3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以n8，故共有8层题型二类比推理典例 (1)等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列的公比为()A.Bq2C.D.答案C解析由题设，得Tnb1b2b3bnb1b1qb1q2b1qn1bq12(n1)b.b1，等比数列的公比为，故选C.(2)在平面上，设ha，hb，hc是ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，
9、则三棱锥中的类似结论为_答案1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：1.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等跟踪训练 (2018晋江模拟)在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律在欧洲直到1623年以后
10、，法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：CCC，其中n是行数，rN.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_1112113311464115101051CCCCC图1图2答案解析类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子CCC，有.题型三演绎推理典例 (2018保定模拟)数列an的前n项和记为Sn，已
11、知a11，an1Sn (nN)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着
12、某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练 (1)(2017全国)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩答案D解析由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”
13、时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩故选D.(2)已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)yf(x)为R上的单调增函数高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档解
14、决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 018是数列an的第_项；b2k1_.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：()Tf(x)|xS；()对任意x1，x2S，
15、当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是_AN，BN；Ax|1x3，Bx|x8或0x10；Ax|0x1，BR；AZ，BQ.解析(1)an12n，b1a4，b2a5，b3a9，b4a10，b5a14，b6a15，b2 018a5 045.由知b2k1.(2)对于，取f(x)x1，xN，所以AN，BN是“保序同构”的，故排除；对于，取f(x)所以Ax|1x3，Bx|x8或0x10是“保序同构”的，故排除；对于，取f(x)tan(0x1)，所以Ax|0x1，BR是“保序同构”的，故排除.不符合，故填.答案(1)5 045(2)1(2018衡水模
16、拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案B解析A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C，D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C，D都不正确，只有B正确，故选B.2(2018武汉模拟)观察下列各式：112，23432，3456752，456789
17、1072，可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2答案B解析由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n1项，且第一项为n，则最后一项为3n2，等式右边均为2n1的平方3(2016北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
18、C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B解析取两个球往盒子中放有4种情况：红红，则乙盒中红球数加1；黑黑，则丙盒中黑球数加1；红黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；黑红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以和的情况一样多和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样综上，选B.4(2017安徽江淮十校三联)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无
19、限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定出来x2，类似地不难得到1等于()A.B.C.D.答案C解析设1x，则1x，即x2x10，解得x.故1，故选C.5(2017宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是()A甲、丙 B乙、丁 C丙、丁 D乙、丙答案D解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错
20、，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为D.6由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析正确；错误7古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N
21、(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数N(n,4)n2，五边形数N(n,5)n2n，六边形数N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.答案1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.8若an是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(mn)ap(np)am(pm)an0，类比上述性质，相应地，对等比数列bn，m，n，p是互不相等的正整数，有_答案bbb1解析类比已知条件中等差数列的等式
22、(mn)ap(np)am(pm)an0，结合等比数列通项公式可得出等比数列的结论为：bbb1.9(2017青岛模拟)若数列an的通项公式为an(nN)，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)_.答案解析f(1)1a11，f(2)(1a1)(1a2)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)，推测f(n).10观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案1解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列故第五个不等式为10，f(1)0，证明：(1)a0且2
23、0，f(1)0，所以c0,3a2bc0.由abc0，消去b得ac0；再由条件abc0，消去c得ab0，所以21.(2)因为抛物线f(x)3ax22bxc的顶点坐标为，又因为21，所以0，f(1)0，而fb0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积为_答案b2a解析椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V2(V圆柱V圆锥)2b2a.16(2017青岛模拟
24、)对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若f(x)x3x23x，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)的对称中心；(2)计算fffff.解(1)f(x)x2x3，f(x)2x1，由f(x)0，即2x10，解得x.f3231.由题中给出的结论，可知函数f(x)x3x23x的对称中心为.(2)由(1)知函数f(x)x3x23x的对称中心为，所以ff2，即f(x)f(1x)2.故ff2，ff2，ff2，ff2.所以fffff22 0162 016.