1、章末整合提升主题一天体运动问题的处理分析处理天体运动问题,要抓住“一个模型”,应用“两个思路”,区分“三个不同”.1.一个模型:无论是自然天体(如行星、月球等),还是人造天体(如人造卫星、空间站等),只要天体的运动轨迹为圆形,就可将其简化为质点的匀速圆周运动.2.两个思路.(1)所有做圆周运动的天体,所需的向心力都来自万有引力.因此,向心力等于万有引力.据此所列方程是研究天体运动的基本关系式,即Gm0mr2=mv2r=m2r=m42T2r=ma.(2)不考虑地球或其他天体自转影响时,物体在地球或其他天体表面受到的重力约等于万有引力,即mg=Gm0mR2,变形得Gm0=gR2,此式通常称为黄金代
2、换式.3.三个不同.(1)不同公式中r的含义不同.在万有引力定律公式F=Gm1m2r2中,r的含义是两质点间的距离;在向心力公式F=mv2r=m2r中,r的含义是质点运动的轨道半径.当一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动时,两式中的r相等.(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同.三种速度的比较,如下表所示.比较项概念大小影响因素运行速度卫星绕中心天体做匀速圆周运动的速度v=Gm0r轨道半径r越大,v越小发射速度在地面上发射卫星的速度大于或等于7.9 km/s卫星的发射高度越高,发射速度越大宇宙速度实现某种效果所需的最小的卫星发射速度7.9 km/s;11.2 km/s;16.7 km/s不
3、同卫星发射的要求(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a的含义不同.绕地球做匀速圆周运动的卫星的向心加速度a,由Gmm地r2=ma,得a=Gm地r2,其中r为卫星的轨道半径.若不考虑地球自转的影响,地球表面的重力加速度为g=Gm地R2,其中R为地球的半径.地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a=2Rcos ,其中、R分别是地球的自转角速度和半径,是物体所在位置的纬度值.【典例1】我国成功发射的探月卫星“嫦娥三号”,在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t,月球半径为R0,引力常量为G,月球表面处重力加速度为g0.(1)请推
4、导出“嫦娥三号”卫星离月球表面高度的表达式;(2)地球和月球的半径之比RR0=4,表面重力加速度之比gg0=6,试求地球和月球的密度之比.解析:(1)由题意知,“嫦娥三号”卫星的周期为T=tn,设卫星离月球表面的高度为h,由万有引力提供向心力得Gmm月(R0+h)2=m(R0+h)2T2,又因为Gm月mR02=mg0,联立解得h=3g0R02t242n2-R0.(2)设星球的密度为,由Gm0mR2=mg得Gm0=gR2,=m0V=m043R3,联立解得=3g4GR.设地球、月球的密度分别为1、0,则10=gR0g0R,将RR0=4,gg0=6代入上式,解得10=32.答案:(1)3g0R02t
5、242n2-R0(2)32【典例2】2018年7月10日4时58分,我国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭,成功发射了第三十二颗北斗导航卫星.该卫星属倾斜地球同步轨道卫星,卫星入轨并完成在轨测试后,将接入北斗卫星导航系统,为用户提供更可靠服务.通过查询知道,倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星,它的运转周期也是24 h,如图所示.关于该北斗导航卫星说法正确的是()A.该卫星可定位在北京的正上空B.该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的C.该卫星的发射速度v7.9 km/sD.该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等解析:根据题意,该
6、卫星是倾斜轨道,故不可能定位在北京的正上空,选项A错误;由于该卫星的运转周期也是24 h,与地球静止轨道卫星的周期相同,故轨道半径、向心加速度大小均相同,选项B错误;第一宇宙速度7.9 km/s是最小的发射速度,选项C错误;根据=2T可知,该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等,选项D正确.答案:D主题二双星模型1.概念.在天体运动中,将两颗彼此相距较近,且在相互之间万有引力作用下绕二者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星体称为双星.2.模型特点.(1)两颗星体做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供,故F1=F2,且方向相反,分别作用在两颗星体上.(2)两颗星
7、体的运行周期及角速度相等.(3)由于圆心在两颗星体的连线上,所以其轨道半径满足关系式r1+r2=l.【典例3】引力波的发现证实了爱因斯坦100多年前的预测.1974年发现脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在.如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型,两星在相互的万有引力作用下,绕某一点做匀速圆周运动.由于双星间的距离减小,则()A.两星的运动周期均逐渐减小B.两星的运动角速度均逐渐减小C.两星的向心加速度均逐渐减小D.两星的运动线速度均逐渐减小解析:双星做匀速圆周运动具有相同的角速度,靠相互间的万有引力提供向心力.根据Gm1m2l2=m1r12=m2r22,得m1r1=m2r2,
8、可知轨道半径比等于质量的反比,双星间的距离减小,则双星的轨道半径都变小.根据万有引力提供向心力,可知角速度变大,周期变小,故选项A正确,选项B错误;根据Gm1m2l2=m1a1=m2a2知l变小,则两星的向心加速度均增大,故选项C错误;根据Gm1m2l2=m1v12r1,解得v1=Gm2r1l2,由于l的二次方比r1的减小量大,所以线速度增大,故选项D错误.答案:A【典例4】(多选)双星A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图如图所示.若A星的轨道半径大于B星的轨道半径,双星的总质量为m,双星间的距离为l,双星的运动周期均为T,则()A.A的质量一定大于B的质量B.A的线速度一定大于B的线
9、速度C.l一定,m越大,T越大D.m一定,l越大,T越大解析:设双星A、B的质量分别为mA、mB,轨道半径分别为RA、RB,角速度相等,均为,根据万有引力定律和牛顿第二定律可知GmAmBl2=mA2RA,GmAmBl2=mB2RB,且RA+RB=l,联立解得mAmB=RBRA.因为RARB,所以A的质量一定小于B的质量,故选项A错误;根据线速度与角速度的关系有vA=RA,vB=RB,因为角速度相等,半径RARB,所以A的线速度大于B的线速度,故选项B正确;又因为T=2,可解得周期为T=2l3Gm,所以总质量m一定,两星间的距离l越大,周期T越大,l一定时,m越大,T越小,故选项C错误,选项D正
10、确.答案:BD主题三人造卫星的发射、变轨与对接1.发射问题.要发射人造卫星,动力装置在地面处要给卫星一个很大的发射速度,且发射速度vv1=7.9 km/s,人造卫星做离开地球的运动;当人造卫星进入预定轨道区域后,再调整速度,使F引=F向,即Gm0mr2=mv2r,从而使卫星进入预定轨道.2.变轨问题.人造卫星在轨道变换时,速度发生变化,导致万有引力与向心力相等的关系被破坏,继而发生向心运动或离心运动,发生变轨,过程如下.发射过程:如图所示,一般先把卫星发射到较低轨道1上,然后在P点点火,使卫星加速,让卫星做离心运动,进入轨道2,到达Q点后,再使卫星加速,进入预定轨道3.回收过程:与发射过程相反
11、,当卫星到达Q点时,使卫星减速,卫星由轨道3进入轨道2,当到达P点时,再让卫星减速进入轨道1,再减速到达地面.3.对接问题.(1)低轨道飞船与高轨道空间实验室对接.如图甲所示,飞船首先在比空间实验室低的轨道运行,当运行到适当位置时,再加速运行到一个椭圆轨道.通过控制使飞船跟空间实验室恰好同时运行到两轨道的相切点,便可实现对接. 甲 乙(2)同一轨道飞船与空间实验室对接.如图乙所示,后面的飞船先减速降低高度,再加速提升高度,通过适当控制,使飞船追上空间实验室时恰好具有相同的速度.【典例5】(多选)2016年中国发射了“天宫二号”空间实验室和“神舟十一号”载人飞船.2017年4月中国发射的“天舟一
12、号”货运飞船与“天宫二号”交会对接.下图是“天宫二号”的发射和变轨过程的示意图,长征运载火箭将“天宫二号”送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,B点距离地面的高度为h,地球的中心位于椭圆的一个焦点上.“天宫二号”飞行几周后进行变轨进入预定圆轨道.已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,引力常量为G,地球半径为R,则下列说法正确的是()A.“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中,引力为动力B.“天宫二号”在椭圆轨道的B点的向心加速度大于在预定圆轨道上B点的向心加速度C.“天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度大于在预定圆轨道上的B点的速度D.根据题目所给信息,可以计算出地球质量解
13、析:“天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中,速度变大,故受到的地球引力为动力,选项A正确.在B点“天宫二号”的加速度都是由万有引力产生的,因为同在B点,万有引力大小相等,轨道半径相同,故不管在哪个轨道上运动,在B点时万有引力产生的向心加速度大小相等,选项B错误.“天宫二号”在椭圆轨道的B点加速后做离心运动才能进入预定圆轨道,故“天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度小于在预定圆轨道的B点的速度,选项C错误.“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,故周期为T=tn,根据万有引力提供向心力得Gmm地(R+h)2=m42(R+h)T2,地球的质量m地=42(R+h)3GT2=42n2(R+
14、h)3Gt2,选项D正确.答案:AD【典例6】“嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射,首次实现在月球软着陆和月面巡视勘察.“嫦娥三号”的飞行轨道示意图如图所示,假设“嫦娥三号”在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时,只受到月球的万有引力,则下列说法正确的是()A.若已知“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量,则可以计算出月球的密度B.“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时,应让发动机点火使其加速C.“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中,加速度变大D.“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度解析:根据“嫦娥三号”环月段圆轨道的半
15、径、运动周期和引力常量可以求出月球的质量,由于不知道月球的半径,故无法求出月球的密度,选项A错误;“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时,轨道半径减小,故应使其减速,选项B错误;“嫦娥三号”在从远月点P向近月点Q运动的过程中所受万有引力逐渐增大,故加速度变大,选项C正确;“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上运动时离月球越近速度越大,故在P点的速度小于在Q点的速度,选项D错误.答案:C主题四卫星的追及与相遇问题1.相距最近.两卫星的运转方向相同,且位于和中心天体连线的半径上的同侧时,两卫星相距最近,如图所示.两卫星两次相距最近的时间为t,从运动关系上应满足(A-B)t=2n(n=1,2,3
16、,).2.相距最远. 当两卫星位于和中心天体连线的半径上的两侧时,两卫星相距最远,如图所示.两卫星两次相距最远的时间为t,从运动关系上应满足(A-B)t=(2n-1)(n=1,2,3,).3.“行星冲日”现象.地球外侧圆轨道上绕太阳运行的行星,某一时刻会出现行星、地球和太阳在一条直线上,地球位于行星和太阳之间,这种现象称为“行星冲日”现象,属于天体运动中的“追及相遇”问题.此类问题具有周期性,周期为T=T1T2T2-T1,T1是地球的公转周期,T2是地外行星的公转周期.【典例7】(多选)如图所示,三个天体A、B、C的质量分别为mA、mB、mC(mC远大于mA及mB),在C的万有引力作用下,A、
17、B在同一平面内绕C沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比rArB=14,则下列说法正确的有()A.A、B运动的周期之比为TATB=18B.A、B运动的周期之比为TATB=14C.从图示位置开始,在B转动一周的过程中,A、B、C共线12次D.从图示位置开始,在B转动一周的过程中,A、B、C共线14次解析:根据开普勒第三定律r3T2=k,得TATB=rA3rB3=143=18,则周期之比为18,选项A正确,选项B错误.设题图示位置A、B与C的连线的夹角为,2,B转动一周(圆心角为2)的时间t=TB,则A、B相距最远时有2TATB-2TBTB=(-)+n2(n=0,1,2,3,),解得n6.7
18、5,n可取7个值;A、B相距最近时有2TATB-2TBTB=(2-)+m2(m=0,1,2,3,),解得m6.25,m可取7个值,故在B转动一周的过程中,A、B、C共线14次,选项C错误,选项D正确.答案:AD【典例8】(多选)2018年7月27日发生了火星冲日现象,火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列在同一条直线上,地球位于太阳与火星之间,此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球,所以明亮且易于观察.地球和火星绕太阳公转的方向相同,轨迹都可近似为圆,火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍,则()A.地球的公转周期比火星的公转周期小B.地球的运行速度比火星的运行速度小C.火星冲日现象每年都会出现D.地球与火星的公转周期之比为827解析:已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍,则由Gm0mr2=m42T2r得T=2r3Gm0,可知轨道半径越大,周期越大,故火星的公转周期比地球的大,选项A正确;又由Gm0mr2=mv2r可得v=Gm0r,则轨道半径越大,线速度越小,即运行速度越小,故火星的运行速度比地球的小,选项B错误;根据开普勒第三定律,得T火T地=r火3r地3=278,因为地球的公转周期为1年,所以火星的公转周期大于1年,不是每年都出现火星冲日现象,选项C错误,选项D正确.答案:AD
