1、第30讲平面向量的平行与垂直考试要求1.掌握向量平行与向量垂直的充要条件(B级要求)；2.能应用向量平行与向量垂直的条件解决相关证明与应用问题(B级要求).诊 断 自 测1.下面说法中正确的有_(填序号).若ab，则存在R，使ab；若a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1x2y1y20，则ab；(必修4P82习题8改编)已知向量a(3，1)，b(2，).若ab，则实数；(必修4P81练习2改编)已知向量a(5，12)，b(sin ，cos )，若ab，则tan ；(必修4P99本章测试改编)设xR，向量a(x，1)，b(3，2)，若ab，则x.解析当a0，b0时，b一定为0，故此时不存在R
2、，使ab；当a0或b0时，x1x2y1y20成立，但只有两非零向量的夹角为90时，称为ab；由3x20得x应该为.答案2.(2017无锡高三上学期期末)已知向量a(2，1)，b(1，1)，若ab与mab垂直，则m的值为_.解析由a(2，1)，b(1，1)，得ab(1，2)，mab(2m1，m1)，因为ab与mab垂直，所以2m12(m1)0，解得m.答案3.已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_.解析因为a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，所以u(1，2)2(x，1)(2x1，4)，v2(1，2)(x，1)(2x，3).又因为uv，所以3(
3、2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案4.(必修4P97复习题改编)已知向量a(3，4)，向量ba，且|b|1，那么b_.解析设b(x，y)，则由已知得解得或答案或5.(必修4P97复习题10改编)已知向量a(3，1)，b(1，2)，若(2ab)(kab)，则实数k_.解析由已知，2ab(7，4)，kab(3k1，k2)，而(2ab)(kab)，故7(3k1)(4)(k2)0，解得k.答案知 识 梳 理(1)两个向量平行的充要条件：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0，则ab存在R，使ab；或abx1y2x2y10.(2)两个非零向量垂直的充要条件：设a(x1，y1)，b(x2，
4、y2)，则abab0；或abx1x2y1y20.考点一向量的平行(共线)问题【例1】 (1)(2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(2)(2018南京一模)设向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，则“ab”是“tan ”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析(1)ab与a2b平行，存在R，使(ab)(a2b)，即aba2b，又a，b不平行，故解得.(2)由ab，得sin 2cos20，即cos 0或2sin cos ，充分性不成立.由tan ，得2sin cos ，sin 2cos20，ab，必要性成立.答案
5、(1)(2)必要不充分规律方法当两向量平行且没有出现坐标时，一般使用“ab且b0，则存在R，使ab”解题；当两向量垂直且出现坐标时，一般先求出(或设出)两向量的坐标，使用“ab，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2y1y20”解题.【训练1】 设向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解由已知得(4k，7)，(6，k5)，当时，A，B，C三点共线；即(4k)(k5)6(7)，解得k2或11.当k2或11时，A，B，C三点共线.考点二向量的垂直问题【例2】 (2018扬州中学月考)已知|a|3，|b|2，a与b的夹角为120.(1)当k为何值时，k
6、ab与akb垂直？(2)当k为何值时，|ka2b|取得最小值？并求出最小值.解(1)kab与akb垂直，(kab)(akb)0.ka2k2abbakb20.9k(k21)32cos 1204k0.3k213k30.k.(2)|ka2b|2k2a24kab4b29k24k32cos 120449k212k16(3k2)212，当k时，|ka2b|取得最小值，最小值是2.规律方法两向量垂直问题，未出现坐标时，用“ab0”求解；出现坐标时(a(x1，y1)，b(x2，y2)，用“x1x2y1y20”求解.【训练2】 (2018盐城中学月考)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)(0).(
7、1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求的值(其中k为非零实数).(1)证明由已知得|a|1，|b|1.(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，ab与ab互相垂直.(2)解由已知得|a|1，|b|1，且abcos cos sin sin cos().kab与akb的模相等，|kab|2|akb|2，即(kab)2(akb)2，k2a22kabb2a22kabk2b2，故k22kcos()112kcos()k2，k0，cos()0，又0，0，即.考点三向量平行、垂直的综合问题【例3】 (2018苏、锡、常、镇一模)已知向量a，b(1，4cos )，(0，).(1)
8、若ab，求tan 的值；(2)若ab，求的值.解(1)因为ab，所以sin12cos 0，即sin cos 12cos 0，即sin cos 0，又由题意得cos 0，所以tan .(2)若ab，则4cos sin3，即4cos 3，所以sin 2cos 22.所以sin1.因为(0，)，所以2，所以2，即.规律方法向量平行、垂直问题，关键是根据平行、垂直的充要条件列出等式再求解，这类问题往往与三角函数进行综合，这类综合问题的解题思路为：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是
9、向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2018南通调研)已知ABC是锐角三角形，向量m，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求AB的值；(2)若cos B，AC8，求BC的长.解(1)因为mn，所以mncoscos Bsinsin Bcos0.又A，B，所以AB，所以AB，即AB.(2)因为cos B，B，所以sin B.所以sin Asinsin Bcos cos Bsin .由正弦定理得BCAC843.一、必做题1.(2018苏州一模)已知向量a(1，2)，b(x，2)，且a(ab)，则实数x_.解析由题
10、意得a(ab)a2ab5(x4)9x0x9.答案92.已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角等于_.解析由ab，得(1sin )(1sin )1，即1sin2，cos2.又为锐角，cos ，45.答案453.(2017全国卷)已知向量a(1，2)，b(m，1).若向量ab与a垂直，则m_.解析a(1，2)，b(m，1)，ab(m1，3)，又(ab)a，(ab)a(m1)60，解得m7.答案74.(2017山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_.解析a(2，6)，b(1，)，ab，26(1)0，3.答案35.(2016全国卷)已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，
11、则m_.解析因为ab，所以，解得m6.答案66.(2016全国卷)设向量a(x，x1)，b(1，2)，且ab，则x_.解析因为ab，所以x2(x1)0，解得x.答案7.(2016山东卷)已知向量a(1，1)，b(6，4).若a(tab)，则实数t 的值为_.解析因为a(tab)，所以a(tab)0，即ta2ab0，又因为a(1，1)，b(6，4)，所以|a|，ab16(1)(4)10，因此可得2t100，解得t5.答案58.(2018苏北四市联考)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与同方向的单位向量是_.解析(4，1)(1，3)(3，4)，与同方向的单位向量为.答案9.(2013江苏卷)已知
12、向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值.(1)证明由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)解因为ab(cos cos ，sin sin )(0，1)，所以由此得cos cos().由0，得0，又0，故.代入sin sin 1，可得sin .sin ，而，所以，.10.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2
13、)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影.解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，且B是ABC一内角，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，c7舍去，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.二、选做题11.(2018泰州中学质检)设平面向量a(x，4)，b(y，2)，c(2，1)(其中x0，y0)，若(ac)(bc)，则|ab|的最小值为_.解析由a(x，4)，b(y，2)，c(2，1)(其中x0，y0)及(ac)(bc)，可得(x2)(y2)90，即xy2(xy)50，因为x0，y0，所以2(x
14、y)5，从而xy10(当且仅当xy时等号成立)，又ab(xy，2)，x0，y0，所以|ab|2，故|ab|的最小值为2.答案212.(2017镇江期末)已知向量m(cos ，1)，n(2，sin )，其中，且mn.(1)求cos 2的值；(2)若sin()，且，求角.解(1)由题意得mn2cos sin 0，2cos sin ，sin2cos25cos21，cos2，cos 22cos21.(2)cos2，cos ，sin ，sin()，且，sin cos cos sincos sin ，2cos sin ，sin 2cos ，sin2cos25cos22cos 1，解得cos 或cos (舍)，.